Compactly embedded Cartan algebras and invariant cones in Lie algebras
Das Hauptziel der Arbeit ist es, spitze abgeschlossene Kegel W (mit Spitze im Nullpunkt) mit nicht-leerem Inneren in Lieschen Algebren \({\mathfrak g}\) zu beschreiben, welche zudem invariant unter der Gruppe der inneren Automorphismen von \({\mathfrak g}\) sind. Solche Kegel erhält man beispielsweise durch invariante Lorentzsche Formen auf \({\mathfrak g}\); die Algebren, welche derartige Formen zulassen, sind übrigens bekannt. Dabei bilden die sogenannten kompakt eingebetteten Cartanschen Unteralgebren eine Schlüsselrolle; eine Cartansche Unteralgebra \({\mathfrak h}\) von \({\mathfrak g}\) heißt kompakt eingebettet, wenn Exp ad \({\mathfrak h}\) relativ kompakt in Aut(\({\mathfrak g})\) ist. Die kompakt-eingebetteten Cartanschen Unteralgebren erhält man etwa folgendermaßen: Man wähle eine Liesche Gruppe G zu \({\mathfrak g}\) sowie einen maximalen Torus T im Abschluß von Ad(G) in Aut(\({\mathfrak g})\) und bilde die Liesche Algebra zu \(Ad^{-1}(T)\). Ist diese Algebra Cartansch, so ist sie eine kompakt eingebettete Cartansche Unteralgebra, und man erhält alle durch Variation von T, bzw. durch Konjugation der einen mit inneren Automorphismen. Ist sie es nicht, so gibt es keine. Die wesentliche Beobachtung ist, daß, sobald es Kegel W mit den o.g. Eigenschaften gibt, stets auch kompakt eingebettete Cartansche Unteralgebren existieren. Der tiefere Grund dafür ist, daß die Gruppe aller invertierbaren linearen Transformationen von \({\mathfrak g}\), welche W invariant lassen und einen gegebenen Punkt im Inneren von W stabilisieren, kompakt ist. In dem, rein materiell gesehen, größten Teil der Arbeit wird eine Theorie kompakt eingebetteter Cartanscher Unteralgebren entwickelt. Eine Schwierigkeit, die sich an der o.a. Beschreibung kompakt eingebetteter Cartanscher Unteralgebren bereits erahnen läßt, ist, daß die adjungierte Gruppe im allgemeinen nicht abgeschlossen zu sein braucht. Die Autoren fragen, ob das im vorliegenden Fall (ein invarianter Kegel existiert) überhaupt eintreten kann. Die Antwort lautet ja, wie ich in einer künftigen Publikation zeigen werde. Um die mit der Nicht-Abgeschlossenheit von Ad(G) verbundenen Probleme zu meistern, werden eingangs auch einige allgemeine Sätze über dichte Einbettungen Liescher Gruppen bewiesen. Das für den Beweis von 1.2 Theorem benötigte Lemma 1.1, daß nämlich \(G'C(G)\) in jeder zusammenhängenden Lieschen Gruppe G abgeschlossen ist, wenn \(G'\) die Kommutatorgruppe und C(G) den maximalen zentralen Torus bezeichnet, ist leider falsch, wie man durch ein Gegenbeispiel zeigen kann. Glücklicherweise ist das für den weiteren Gang der Handlung wichtige 1.2 Theorem richtig, wie sich etwa aus Theorem 1 in \textit{M. Gotô} [Math. Jap. 1, 107-119 (1948; Zbl 0041.360)] ergibt. Mit Hilfe der gewonnenen Einsichten über Cartansche Unteralgebren läßt sich dann relativ rasch das Hauptergebnis herleiten, daß nämlich jeder invariante Kegel W durch seinen Schnitt mit einer fest gewählten kompakt eingebetteten Cartanschen Unteralgebra \({\mathfrak h}\) vollständig bestimmt ist. Und das nicht nur in einem abstrakten Sinne, sondern man kann W aus \({\mathfrak h}\cap W\) explizit rekonstruieren. Offen bleibt hier die Frage, welche Kegel in \({\mathfrak h}\) Anlaß zu einem invarianten Kegel in \({\mathfrak g}\) geben. Diese Frage wird abschließend behandelt in \textit{J. Hilgert}, \textit{K. H. Hofmann} [Bull. Am. Math. Soc., New Ser. 19, 441-446 (1988; Zbl 0657.17002)] und in der Monographie \textit{J. Hilgert}, \textit{K. H. Hofmann}, \textit{J. D. Lawson}, Lie Groups, Convex Cones and Semigroups [Clarendon Press, Oxford (1989)].
scientific article; zbMATH DE number 4122246
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