Über diskontinuierliche Gruppen mit einer definierenden Relation. (Der Freiheitssatz.)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über diskontinuierliche Gruppen mit einer definierenden Relation. (Der Freiheitssatz.)
zbMATH Open document ID: 56.0134.03
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1930-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/
full work available at URL: https://eudml.org/doc/149736
review text: Es wird folgender für die Theorie der diskontinuierlichen Gruppen fundamentale Satz, der sogenannte ``Freiheitssatz'' bewiesen: Läßt sich in einer Gruppe mit einer einzigen definierenden Relation eine Erzeugende aus der Relation eliminieren, so kann das durch Transformation mit einem Element der Gruppe geschehen. Anders ausgedrückt: Kommt eine Erzeugende in der Relation und ihren sämtlichen Transformierten vor, auch wenn alle möglichen Kürzungen (Streichungen von Faktoren \(a^{-1}a\)) ausgeführt werden, so erzeugen die übrigen Erzeugenden der Gruppe eine freie Untergruppe. Zum Beweis werden einige an sich interessante Hilfssätze verwendet, die mit dem Satz über die ``Existenz des freien Produktes mit vereinigten Untergruppen'' [\textit{O. Schreier}, Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 5, 161-183 (1927; JFM 53.0110.01)] inhaltlich äquivalent sind. Der Freiheitssatz wird benutzt, um folgendes Problem, das ``Wurzelproblem'', in Angriff zu nehmen: Es sind alle Relationen zu finden, die zur Folge haben, daß ein vorgegebener Ausdruck in den Erzeugenden zur Einheit wird; diese Relationen werden die Wurzeln des gegebenen Elements genannt. Aus dem Freiheitssatz fließt nun: daß Wurzeln einer Erzeugenden nur ihre Transformierten und die Transformierten ihrer Reziproken sind; daß Wurzeln eines Kommutatorelementes von zwei Erzeugenden nur seine Transformierten, die Transformierten seiner Reziproken und die primitiven Elemente aus den zwei Erzeugenden sind; die Lösung des Wurzelproblems für einige weitere spezielle Fälle. Die in der Arbeit benutzte Methode beruht zu einem wesentlichen Teil darauf, daß sich Transformierte einer Erzeugenden, deren Unabhängigkeit nachgewiesen wird, als neue Erzeugende einführen lassen; dadurch lassen sich Aussagen über Elemente in der Faktorgruppe der Kommutatorgruppe verschärfen. Wenn dieses Verfahren nicht unmittelbar brauchbar ist, so wird die vorgelegte Gruppe in eine andere eingebettet, in der das Verfahren sich dann anwenden läßt.
Mathematics Subject Classification ID: 20-XX
zbMATH DE Number: 2562945
zbMATH Keywords: discontinuous groups
zbMATH Keywords: one defining relation
author: Wilhelm Magnus
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W3134185209
DOI: 10.1515/CRLL.1930.163.141
description: scientific article; zbMATH DE number 2562945