Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen.
zbMATH Open document ID: 56.0180.05
published in: Abhandlungen der Preußischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-Mathematische Klasse
publication date: 1929-01-01T00:00:00Z
review text: Diese umfang- und inhaltreiche Abhandlung umfaßt zwei Hauptteile: ``Über transzendente Zahlen'' und ``Über diophantische Gleichungen''. Bindeglied zwischen beiden ist die gemeinsame Methode, die in der Anwendung diophantischer Approximationen besteht. Die Grundgedanken dieser Methode werden in einer ausführlichen \textit{Einleitung} vorangestellt. Während man nach dem Dirichletschen Schubfachschluß leicht angeben kann, wie genau sich \textit{mindestens} die Zahl 0 durch ein lineares Kompositum \[ L=h_0\,\omega_0+\dots +h_r\omega_r \] gegebener Zahlen \(\omega_0, \ldots, \omega_r\) approximieren läßt, wenn die Koeffizienten \(h_0, \ldots, h_r\) nicht sämtlich verschwindende ganze rationale Zahlen sein dürfen, die absolut sämtlich höchstens gleich \(H\) sind, nämlich \[ |\,L\,|\le \frac{|\,\omega_0\,|+\dots +|\,\omega_r\,|}{H^r}, \] hängt jede nichttriviale Antwort auf die Frage, wie genau dies \textit{höchstens} der Fall sein kann, also jede nichttriviale untere Abschätzung der sog. Näherungsform \(L\), von den arithmetischen Eigenschaften der gegebenen Zahlen \(\omega_0\), \dots, \(\omega_r\) ab. Auf eine solche untere Abschätzung einer Näherungsform läuft sowohl jeder Transzendenzbeweis hinaus: \[ L=h_0+h_1\,\omega+\dots +h_r\,\omega^r, \] als auch läßt sich darauf das Problem der oberen Abschätzung der Anzahl der auf einer algebraischen Kurve gelegenen Gitterpunkte zurückführen. Der Verf. entwickelt nun eine allgemeine Methode, wie man \textit{arithmetische} Näherungsformen \(L\) gewinnen kann, ausgehend von \textit{algebraischen} Näherungsformen \[ L(x)=h_0(x) \omega_0(x)+\ldots +h_r(x) \omega_r(x) \] für Potenzreihen \(\omega_0(x), \ldots, \omega_r(x)\) und mit Polynomkoeffizienten \(h_0(x), \ldots, h_r(x)\). Annäherung von \(L(x)\) an 0 ist im Sinne der Bewertung an der Stelle \(x=0\) verstanden, d. h. \(L(x)\) heißt, um so kleiner, von je höherer Ordnung es bei \(x=0\) verschwindet. Beim Übergang von einer algebraischen Näherungsform zu einer arithmetischen Nä…
Mathematics Subject Classification ID: 11Jxx
Mathematics Subject Classification ID: 11Dxx
zbMATH DE Number: 2563202
MaRDI profile type: Publication
author: Carl Ludwig Siegel
description: scientific article; zbMATH DE number 2563202