A note on hypergeometric series.
type: Item
instance of: scholarly article
title: A note on hypergeometric series.
zbMATH Open document ID: 56.0314.01
author: A. L. Dixon
published in: The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford Series
publication date: 1930-01-01T00:00:00Z
review text: Die Herleitung einiger Formeln aus der Theorie der hypergeometrischen Reihen wird durch Anwendung von Hilfsmitteln aus der Theorie der elliptischen Funktionen vereinfacht. Den Ausgangspunkt bildet die Formel \[ \int\limits_{0}^{X} \displaystyle (\text{sn}\,u)^{2\alpha-1}\,(\text{cn}\,u)^{2\beta-1}\,(\text{dn}\,u )^{2\gamma-1}\,du=\frac{1}{2} \frac{\varGamma(\alpha)\,\varGamma(\beta)}{\varGamma(\alpha+\beta)} F(1-\gamma,\alpha,\alpha+\beta;k^2) \] mit \(k^2<1\), \(\alpha>0\), \(\beta>0\). Durch Integration über ein Viertel des Periodenrechtecks ergibt sich rasch die bekannte Relation: \[ \begin{aligned} &\frac{\varGamma(\alpha)\,\varGamma(\beta)}{\varGamma(\alpha+\beta)} F(1-\gamma,\alpha,\alpha+\beta;k^2)=\\ &(1-k^2)^{\beta+\gamma-1}\frac{\varGamma(\beta)\,\varGamma(1-\beta-\gamma)} {\varGamma(1-\gamma)}\,F\,(1-\delta,\beta,\beta+\gamma; 1-k^2)\\ +&\frac{\varGamma(\alpha)\,\varGamma(1-\alpha-\delta)}{\varGamma(1 \delta)}\,F\,(1-\gamma,\alpha,\alpha+\delta;1-k^2)\end{aligned} \] mit \(\alpha+\beta+\gamma+\delta=2\). (IV 6 D.)
zbMATH DE Number: 2563665
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: os-1.1.175
OpenAlex ID: W1989035662
DOI: 10.1093/QMATH/OS-1.1.175
description: scientific article; zbMATH DE number 2563665