A note on hypergeometric series.
Die Herleitung einiger Formeln aus der Theorie der hypergeometrischen Reihen wird durch Anwendung von Hilfsmitteln aus der Theorie der elliptischen Funktionen vereinfacht. Den Ausgangspunkt bildet die Formel \[ \int\limits_{0}^{X} \displaystyle (\text{sn}\,u)^{2\alpha-1}\,(\text{cn}\,u)^{2\beta-1}\,(\text{dn}\,u )^{2\gamma-1}\,du=\frac{1}{2} \frac{\varGamma(\alpha)\,\varGamma(\beta)}{\varGamma(\alpha+\beta)} F(1-\gamma,\alpha,\alpha+\beta;k^2) \] mit \(k^2<1\), \(\alpha>0\), \(\beta>0\). Durch Integration über ein Viertel des Periodenrechtecks ergibt sich rasch die bekannte Relation: \[ \begin{aligned} &\frac{\varGamma(\alpha)\,\varGamma(\beta)}{\varGamma(\alpha+\beta)} F(1-\gamma,\alpha,\alpha+\beta;k^2)=\\ &(1-k^2)^{\beta+\gamma-1}\frac{\varGamma(\beta)\,\varGamma(1-\beta-\gamma)} {\varGamma(1-\gamma)}\,F\,(1-\delta,\beta,\beta+\gamma; 1-k^2)\\ +&\frac{\varGamma(\alpha)\,\varGamma(1-\alpha-\delta)}{\varGamma(1 \delta)}\,F\,(1-\gamma,\alpha,\alpha+\delta;1-k^2)\end{aligned} \] mit \(\alpha+\beta+\gamma+\delta=2\). (IV 6 D.)
scientific article; zbMATH DE number 2563665