Über lateinische Quadrate und Unionen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über lateinische Quadrate und Unionen.
zbMATH Open document ID: 56.0859.01
author: E. Schönhardt
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1930-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/
full work available at URL: https://eudml.org/doc/149738
review text: Verf. versucht, eine allgemeine Theorie der sogenannten lateinischen Quadrate anzubahnen, d. h. der quadratischen Matrizen \(Q =(a_{\varkappa\lambda})\) vom Grade \(n\), unter deren Elementen nur \(n\) von einander verschiedene vorkommen, und für die \[ a_{\kappa\lambda} \ne a_{\mu\lambda}\ne a_{\mu\nu} \text{ für } \kappa\ne \mu, \;\lambda \neq \nu. \] 1. \(Q\) bezeichne ein beliebiges lateinisches Quadrat. Es gibt eine Gruppe \(\mathfrak G\) von Transformationen, die jedes \(Q\) wieder in ein \(Q\) überführen. Sie wird erzeugt durch: a) Vertauschungen zweier Zeilen, b) Vertauschungen zweier Spalten, c) Umbenennungen der Elemente von \(Q\). \noindent Zu jedem \(Q\) gehört eine bestimmte Untergruppe \(\varGamma\) von \(\mathfrak G\), seine ``Transformationsgruppe'', die aus den Transformationen von \(\mathfrak G\) besteht, welche \(Q\) nicht ändern. \(\mathfrak G\) kann erweitert werden durch Adjunktion der Elemente einer gewissen Gruppe \(\Re\) sechster Ordnung, deren Transformationen jedem \(Q\) sechs ``koordinierte'' \(Q\) zuordnen. Je sechs koordinierte \(Q\) haben eine anschauliche geometrische Bedeutung im \(R^3\). \(Q\) ist charakterisiert durch \(n\) Permutationen in \(n\) Symbolen, deren \(\nu\)-te angibt, wie die \(\nu\)-te Zeile von \(Q\) aus der ersten entsteht. Verf. betrachtet der Symmetrie wegen außer diesem ``ersten Fundamentalsystem'' noch zwei weitere Systeme von je \(n\) Permutationen. Es werden die Zusammenhänge zwischen den Fundamentalsystemen und Transformationsgruppen koordinierter \(Q\) untersucht. Ferner wird ein spezielles Element von \(\Re\), die Spiegelung an der Hauptdiagonale, zu \(\mathfrak G\) adjungiert und die entsprechende Erweiterung von \(\varGamma\) genauer betrachtet. 2. Jedes \(Q\) kann als Verknüpfungstafel eines gruppenähnlichen Gebildes \(\mathfrak F\), einer ``Union'', betrachtet werden. Eine Union ist eine endliche Menge, in der alle Gruppenpostulate bis auf das der Assoziativität gelten. Es wird angegeben, wie die Automo…
Mathematics Subject Classification ID: 05B15
zbMATH DE Number: 2566538
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W139848366
DOI: 10.1515/CRLL.1930.163.183
description: scientific article; zbMATH DE number 2566538