Über lineare, vollstetige Funktionaloperationen.
Zugrundegelegt wird ein Raum \(R\) vom Typus \(B\), d. h. ein linearer, normierter, vollständiger Raum. Zu einer in \(R\) definierten Funktionaloperation \(y = f (x)\) wird auf dieselbe Weise wie in der vorstehend besprochenen Arbeit von \textit{S. Mazur} die konjugierte Operation \(X = F(Y)\) erklärt (die dortigen Buchstaben \(x^*\), \(y^*\), \(F\), \(F^*\) lauten hier \(X\), \(Y\), \(f\), \(F\)). -- Eine Operation heißt vollstetig, wenn sie beschränkte Mengen in kompakte überführt. Hierüber gelten zunächst folgende Sätze: \textit{Satz I.} Ist \(y= f(x)\) linear und vollstetig, so ist auch \(X=F(Y)\) in den entsprechenden Räumen linear und vollstetig. \textit{Satz II.} Ist die konjugierte Funktionaloperation \(X=F(Y)\) vollstetig, so trifft dies auch für die ursprüngliche Funktionaloperation \(y= f(x)\) zu. \textit{Satz III.} Es seien \(y= f(x), z = \varphi (y)\) zwei lineare, stetige Funktionaloperationen, \(X = F(Y)\) und \(Y= \varPhi (Z)\) ihre konjugierten. Dann ist \(X = F[\varPhi (z)]\) die konjugierte Operation zu \(z=\varphi [f(x)]\). Das Hauptziel der Arbeit sind die drei folgenden Hauptsätze, die in Erweiterung gewisser Resultate von \textit{F. Riesz} die drei \textit{Fredholmschen} ``determinantenfreien'' Sätze über Integralgleichungen auf die allgemeinen vollstetigen Funktionaltransformationen übertragen. \textit{Hauptsatz I.} Die beiden homogenen Gleichungen \[ x + f(x) = 0, \quad Y+F(Y) = 0 \] besitzen dieselbe Anzahl von linear unabhängigen Lösungen, wenn eine der beiden Funktionaloperationen \(f(x)\) und \(F(Y)\) als vollstetig vorausgesetzt wird. \textit{Hauptsatz II.} (a) Ist \(f(x)\) vollstetig, so ist die Gleichung \[ y_0 = x +f (x) = h(x) \] für gegebenes \(y_0\) dann und nur dann lösbar, wenn \(y_0\) zu allen Nullösungen \(Y\) der konjugierten Gleichung orthogonal, d. h. wenn \(Y(y_0) = 0\) ist. Dabei wird als Nullösung jede Lösung von \[ Y + F(Y) = 0 \] bezeichnet. (b) Ist \(F(Y)\) vollstetig, so ist die Gleichung \[ X_0 = Y+ F(Y) = H(Y) \] für gegebenes \(X_0\) dann und nur dann lösbar, wenn \(X_0\) zu allen Nullösungen \(x\) der ursprünglichen Gleichung \(y = f(x)\) orthogonal, d. h. wenn \(X_0(x) = 0\) ist. Dabei wird als Nullösung \(x\) jede Lösung von \[ x+f(x) =0 \] bezeichnet. \textit{Hauptsalz III.} Ist eine der Funktionaloperationen \(f(x)\) und \(F(Y)\) vollstetig, so sind die vier folgenden Eigenschaften einander gleichwertig: (a) die Gleichung \(y= x + f(x)\) ist für jedes \(y\) lösbar; (b) die Gleichung \(X= Y + F (Y)\) ist für jedes \(X\) lösbar; (c) die Gleichung \(0 = x + f (x)\) besitzt keine ``Nullösungen''; (d) die Gleichung \(0 =Y+F(Y)\) besitzt keine ``Nullösungen''. Als Anwendung wird die erste Bandwertaufgabe der Potentialtheorie für gewisse Flächen behandelt.
scientific article; zbMATH DE number 2563765