Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen.
zbMATH Open document ID: 56.0355.01
published in: Studia Mathematica
publication date: 1930-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/217247
review text: Der Fixpunktsatz wurde zuerst von \textit{Birkhoff} und \textit{Kellogg} in speziellen Funktionsfoldern, dann vom Verf. in allen Räumen, die eine lineare Basis besitzen, bewiesen. In dieser Arbeit wird auch diese Voraussetzung vermieden und die Aussage weiter verallgemeinert. \textit{Satz I} gilt für einen linearen, metrischen, vollständigen Raum \(E\), der den von \textit{S. Banach} auf gestellten Axiomen genügt: (1) \(\overline{x, y }\) sei die Entfernung der Elemente \(x, y\), und \(\theta\) bezeichne das Nullelement. Dann soll sein: \[ \overline{x, y } = \overline{x- y, \theta }. \] (2) Aus \[ \overline{x_n, x } \to 0, \quad \overline{y_n, y } \to 0 \] folgt \[ \overline{x_n + y_n, x+y} \to 0. \] (3) Ist \(\{\lambda_n\}\) eine Folge von reellen Zahlen und \(\{x_n\}\) eine Elementenfolge aus \(E\), und gilt \[ \lambda_n \to \lambda, \quad \overline{x_n, x} \to 0, \] so folgt \[ \overline{\lambda_n x_n, \lambda x} \to 0. \] \textit{Satz I.} Die stetige Funktionaloperation \(F (x)\) bilde die konvexe, abgeschlossene, kompakte Menge \(H\) des Raumes \(E\) auf sich selbst ab. Dann gibt es einen Fixpunkt \(x_0\), d.h. \[ F(x_0) = x_0. \] Für die von \textit{S. Banach} in seiner Dissertation betrachteten linearen, normierten, vollständigen Räume (\(B\)-Räume) kann man auf die Kompaktheit von \(H \) verzichten. Das führt zu \textit{Salz II}. In einem \(B\)-Raum sei eine konvexe, abgeschlossene Menge \(H\) gegeben. Die stetige Funktionaloperation \(F (x)\) bilde \(H\) auf sich selbst ab. Ferner sei die Menge \(F (H)\) in \(H\) kompakt. Dann ist ein Fixpunkt vorhanden. Um den Satz III, der die Existenz einer linearen Basis des Raumes nicht mehr voraussetzt, aussprechen zu können, müssen folgende Definitionen vorausgeschickt werden: Die Elementenfolge \(\{x_n\}\) konvergiert \textit{schwach} gegen \(x\), wenn für jedes lineare, stetige Funktional \(A (x)\) die Beziehung \[ A(x_n) \to A(x) \] gilt. Eine Menge heißt \textit{schwach kompakt}, wenn in jeder Elementenfolge eine…
Mathematics Subject Classification ID: 47H10
zbMATH DE Number: 2563766
MaRDI profile type: Publication
Wikidata QID: Q108258347
OpenAlex ID: W831210015
DOI: 10.4064/SM-2-1-171-180
author: Juliusz Schauder
description: scientific article; zbMATH DE number 2563766