A set of differential equations which can be solved by polynomials.
type: Item
instance of: scholarly article
title: A set of differential equations which can be solved by polynomials.
zbMATH Open document ID: 56.0384.03
author: J. L. Burchnall
author: T. W. Chaundy
published in: Proceedings of the London Mathematical Society. Second Series
publication date: 1930-01-01T00:00:00Z
review text: Die Verf. gehen aus von der Frage, wann für zwei teilerfremde Polynome \(y(x)\), \(z(x)\) deren keines eine mehrfache Nullstelle besitzt, und eine natürliche Zahl \(p\) das unbestimmte Integral \[ I(x) = \int \frac { \{ z(x)\}^p}{ \{y(x) \}^2} \, dx \tag{1} \] eine rationale Funktion von \(x\) ist. Das ist sicher dann der Fall, wenn \(y (x)\) und \(z (x)\) durch die Differentialgleichung \[ y^{\prime \prime} (x) z(x) - p y^\prime (x) z^\prime (x) + y (x) z^{\prime \prime} (x) = 0 \tag{2} \] verknüpft sind. Wird die eine der beiden Funktionen \(y (x), z (x)\) als gegeben angesehen, so stellt (2) eine lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung für die andere dar. Es wird nun (2) untersucht unter der Annahme, daß \(y (x)\) und \(z(x)\) die oben genannten Eigenschaften besitzen. Ausgehend davon, daß bei gegebenem \(z(x)\) zu einer Lösung \(y(x)\) eine weitere Lösung von (2) in der Form \(y(x) \;I(x)\) angegeben werden kann, daß diese eine rationale Funktion von der Form \(\dfrac {y_1(x)}{y(x)}\), und daß das im Zähler stehende Polynom \(y_1 (x)\) wieder eine Lösung von (2) ist, gelangen die Verf. zu dem folgenden Ergebnis: Durch die Rekursionsformel \[ y_{r+1} = y_{r-1} \int \frac {y^p_r}{y^2_{r-1}} \, dx \] mit den Anfangsgliedern \[ y_0(x) = 1, \quad y_1(x) = x + a_1, \] wird eine Folge von Polynomen \(y_r\) definiert; \(y_r\) genügt der Differentialgleichung \[ y^{\prime \prime}_{r+1}y_r - py^\prime_{r+1} y^\prime_r + y_{r+1} y^{\prime \prime }_r = 0; \] überdies haben die \(y_r\) für \(s = 0, 1, \dots, p\) die Eigenschaft, daß \[ y_r \int \frac {y^2_{r+1} y^{p-s}_{r-1}}{y^2_r} \, dx \] wieder ein Polynom ist. Es wird dann im Falle \(p=2\) das Polynom \(y_r\) durch die Determinante \(r\)-ter Ordnung \[ y_r = \begin{vmatrix} (2r-1) & (2r-3) & \cdots & (3) & (1) \\ (2r-2) & (2r-4) & \cdots & (2) & (0) \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot & \cdot \\ (r+1) & (r-1) & \cdots & 0 & …
zbMATH DE Number: 2563861
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s2-30.1.401
OpenAlex ID: W2089455822
DOI: 10.1112/PLMS/S2-30.1.401
description: scientific article; zbMATH DE number 2563861