A set of differential equations which can be solved by polynomials.
Die Verf. gehen aus von der Frage, wann für zwei teilerfremde Polynome \(y(x)\), \(z(x)\) deren keines eine mehrfache Nullstelle besitzt, und eine natürliche Zahl \(p\) das unbestimmte Integral \[ I(x) = \int \frac { \{ z(x)\}^p}{ \{y(x) \}^2} \, dx \tag{1} \] eine rationale Funktion von \(x\) ist. Das ist sicher dann der Fall, wenn \(y (x)\) und \(z (x)\) durch die Differentialgleichung \[ y^{\prime \prime} (x) z(x) - p y^\prime (x) z^\prime (x) + y (x) z^{\prime \prime} (x) = 0 \tag{2} \] verknüpft sind. Wird die eine der beiden Funktionen \(y (x), z (x)\) als gegeben angesehen, so stellt (2) eine lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung für die andere dar. Es wird nun (2) untersucht unter der Annahme, daß \(y (x)\) und \(z(x)\) die oben genannten Eigenschaften besitzen. Ausgehend davon, daß bei gegebenem \(z(x)\) zu einer Lösung \(y(x)\) eine weitere Lösung von (2) in der Form \(y(x) \;I(x)\) angegeben werden kann, daß diese eine rationale Funktion von der Form \(\dfrac {y_1(x)}{y(x)}\), und daß das im Zähler stehende Polynom \(y_1 (x)\) wieder eine Lösung von (2) ist, gelangen die Verf. zu dem folgenden Ergebnis: Durch die Rekursionsformel \[ y_{r+1} = y_{r-1} \int \frac {y^p_r}{y^2_{r-1}} \, dx \] mit den Anfangsgliedern \[ y_0(x) = 1, \quad y_1(x) = x + a_1, \] wird eine Folge von Polynomen \(y_r\) definiert; \(y_r\) genügt der Differentialgleichung \[ y^{\prime \prime}_{r+1}y_r - py^\prime_{r+1} y^\prime_r + y_{r+1} y^{\prime \prime }_r = 0; \] überdies haben die \(y_r\) für \(s = 0, 1, \dots, p\) die Eigenschaft, daß \[ y_r \int \frac {y^2_{r+1} y^{p-s}_{r-1}}{y^2_r} \, dx \] wieder ein Polynom ist. Es wird dann im Falle \(p=2\) das Polynom \(y_r\) durch die Determinante \(r\)-ter Ordnung \[ y_r = \begin{vmatrix} (2r-1) & (2r-3) & \cdots & (3) & (1) \\ (2r-2) & (2r-4) & \cdots & (2) & (0) \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot & \cdot \\ (r+1) & (r-1) & \cdots & 0 & 0 \\ (r) & (r-2) & \cdots & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} \] angegeben; dabei bedeuten \((2r - 1)\) ein beliebiges Polynom \((2r - 1)\)-ten Grades in \(x\), und \((2r - 2), (2r - 3),\dots, (2r -\nu),\dots\) die \(1-, 2-, \dots, \nu\)-te Ableitung von \((2r - 1)\); \(y_r\) enthält daher \(2r\) willkürliche Konstanten. Durch Einführung einer Operatorschreibweise und Anwendung derselben auf die Folge der Polynome \(y_r\) erhalten die Verf. weitere Ergebnisse, die sie selbst aber noch nicht als befriedigend ansehen. (IV 6 A.)
scientific article; zbMATH DE number 2563861