A note on the hypergeometric and Bessel's equations.
Die Verf. betrachten lineare Differentialgleichungen der Form \[ f(\delta)y=x^m g(\delta)y, \] in der \(\delta\) den Operator \(x\dfrac d{dx}\) und \(f\) und \(g\) Polynome mit konstanten Koeffizienten bedeuten. Den Ausgangspunkt bilden folgende Sätze sowie Folgerungen aus dem erstgenannten Satz: (1)\ Ist \(z\) eine Lösung der Differentialgleichung \[ ( \delta - a ) f(\delta) z = x^m g(\delta)z, \] dann ist \[ y = \prod_{s=0}^{r-1} (\delta - a - sm)z \] eine Lösung der Differentialgleichung \[ (\delta - a - r m) f(\delta)y = x^m g(\delta) y. \] (2) \ Ist \(y (x)\) eine Lösung der Differentialgleichung \[ f (\delta) y = xg (\delta) y, \] dann ist \(y(\omega x)\) eine Lösung; der Differentialgleichung \[ \prod_{r=1}^m f(\delta-r+1) y = x^m \prod_{r=1}^m g(\delta+r-1) y, \] wenn \(\omega\) eine \(m\)-te Einheitswurzel ist. Diese Sätze werden auf die Differentialgleichung \[ f(\delta) y = x^m y \tag{3} \] angewendet; die Verf. beweisen zunächst: Bilden die natürlichen Zahlen \(a_1, \dots, a_m\) ein vollständiges Restsystem mod \(m\), so besitzt die Differentialgleichung \[ (\delta - a_1) \dots (\delta - a_m) y = x^m y \] \(m\) Linear unabhängige Lösungen von der Form \[ y = \prod (\delta - b) e^{\omega x}; \] dabei sind die Zahlen \(b\) die kleinsten nicht negativen Reste mod \(m\) von \(a_1, \dots, a_m\), und \(w\) ißt eine \(m\)-te Einheitswurzel. Dann werden Gleichungen (3) untersucht, die durch \textit{Bessel}sche Funktionen lösbar sind. Es ergeben sich Sätze von folgender Art: Die Differentialgleichung \[ \prod_{r=1}^m (\delta - p_r)(\delta - p_r - 1)y = x^p y \] ist durch \textit{Bessel}sche Funktionen der Ordnung \(\frac{m}{p}\) lösbar, wenn die Zahlen \(p_r\) (\(r = 1, \dots, m\)) in gewisser Reihenfolge gleich den Zahlen \(p\left(N_r + \dfrac{\tfrac 12 b + r}{m}\right)\) sind, wobei \(b\) von \(r\) unabhängjg und \(N_r\) (\(r = 1, \dots, m\)) ganzzahlig ist. (IV 6 B.)
scientific article; zbMATH DE number 2563862