On Plateaus problem.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On Plateaus problem.
zbMATH Open document ID: 56.0437.02
DOI: 10.2307/1968237
published in: Annals of Mathematics. Second Series
publication date: 1930-01-01T00:00:00Z
review text: In einer Arbeit in den Annales Ecole norm. (3) 45 (1928), 53-144 (F. d. M. 54, 748 (JFM 54.0748.*)-749) hat \textit{R. Garnier} das \textit{Plateau}sche Problem ohne einschränkende Voraussetzungen über die Gestalt der Randkurve behandelt. In der ersten der beiden vorliegenden Arbeiten vereinfacht Verf. den Grenzübergang von der Lösung des \textit{Plateau}schen Problems mit polygonaler Randkurve zur Lösung für beliebige rektifizierbare Randkurven durch den Beweis des folgenden Konvergenzsatzes: \(\varGamma^*_n\) sei eine Folge von einfach geschlossenen Kurven im \((x,y,z)\)-Raum mit folgenden Eigenschaften: \((\alpha)\) die Längen \(l(\varGamma^*_n)\) der \(\varGamma^*_n\) sind gleichmäßig beschränkt; \((\beta)\) das \textit{Plateau}sche Problem (das in der \textit{Weierstraß}schen Form unter Bezugnahme auf isotherme Parameter aufgestellt wird) sei für jedes \(\varGamma^*_n\) lösbar (\(n = 1, 2,\dots)\); \((\gamma)\varGamma^*_n\) konvergiere im \textit{Fréchet}schen Sinne gegen eine einfach geschlossene Kurve \(\varGamma^*\). Dann ist das \textit{Plateau}sche Problem auch für \(\varGamma^*\) lösbar. In der zweiten Arbeit zeigt Verf., daß man zu einer Lösung des \textit{Plateau}schen Problems für Polygone gelangen kann, indem man zunächst ``Approximationslösungen'' in folgendem Sinne konstruiert: Die Lösung des \textit{Plateau}schen Problems erfordert bekanntlich die Bestimmung von drei Funktionen \(x(u, v)\), \(y(u,v)\), \(z(u,v)\), die (1) für \(u^2+v^2<1\) harmonisch sind; (2) für \(u^2+ v^2 < 1\) den Bedingungen \[ E = G,\quad F = 0 \] genügen, wobei \(E\), \(F\), \(G\), die ersten Fundamentalgrößen der Fläche sind; (3) für \(u^2+v^2\leqq 1\) stetig sind und den Kreis \(u^2 + v^2<1\) eineindeutig auf die gegebene Randkurve abbilden. Bei einer Approximationslösung wird die Bedingung (2) durch die folgende ersetzt: \[ \iint|F|<\varepsilon,\qquad\iint(\sqrt{E}-\sqrt{G})^2<\varepsilon \tag{2*} \] wobei die Integration über \(u^2+v^2 < 1\) zu erstrecken ist. Bei der Be…
reviewed by: Erika Dr. Pannwitz
zbMATH DE Number: 2564041
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.2307/1968237
OpenAlex ID: W2312735555
Wikidata QID: Q56227807
author: Tibor Radó
description: scientific article; zbMATH DE number 2564041