A generalization of the Weddle surface, of its Cremona group, and of its parametric expression in terms of hyperelliptic theta functions.
type: Item
instance of: scholarly article
title: A generalization of the Weddle surface, of its Cremona group, and of its parametric expression in terms of hyperelliptic theta functions.
zbMATH Open document ID: 56.0564.02
DOI: 10.2307/2370617
author: A. B. Coble
published in: American Journal of Mathematics
publication date: 1930-01-01T00:00:00Z
review text: Die \textit{Weddle}sche Fläche \(W_2\), der Ort der Scheitel aller Kegel zweiter Ordnung, die durch sechs Punkte (Fundamentalpunkte) des Raumes laufen, ist invariant gegenüber einer Cremonagruppe \(G_{32}\) mit einer ausgezeichneten involutorischen Verwandtschaft, welche jeden Punkt von \(W_2\) einzeln in Ruhe läßt. Diese ausgezeichnete Verwandtschaft ist die \textit{Geiser}sche, welche jedem siebenten Punkte des Raumes den achten zuordnet, der mit dem siebenten und den sechs Fundamentalpunkten ein Oktupel assoziierter Punkte bildet. Die sechs Fundamentalpunkte gehen symmetrisch als singuläre Punkte in diese Verwandtschaft ein. Die Verallgemeinerung von \(G_{32}\) gibt eine Abelsche \(G_{2^{n+2}}\) im \(S_n\), die durch \(n+ 3\) Punkte \(p_l\) bestimmt ist: Werden \(n+ 1\) Punkte davon als Eckpunkte des Koordiriatensimplex gewählt, und sind \(y_i, z_i\) die Koordinaten der beiden übrigen Punkte \(p_j, p_k\), so definieren die Gleichungen \[ x_i\cdot x_i' = y_i\cdot z_i\quad (i = 0, \ldots,n) \] eine involutorische Transformation \(I_{j,k}\) dieser Gruppe, und die Gruppe wird von den Transformationen \(I_{j,k}\) erzeugt. Wenn n ungerade ist, enthält \(G_{2^{n+2}}\) eine ausgezeichnete Verwandtschaft mit der besonderen Eigenschaft, alle \(n + 3\) Punkte in symmetrischer Weise als singuläre Punkte zu besitzen. Die Verwandtschaft hat für \(n = 2p - 1\) eine Ruhepunktmannigfaltigkeit von \(p\) Dimensionen. \textit{Diese wird als verallgemeinerte Weddlesche, Mannigfaltigkeit \(W_p\), im \(S_{2p-1}\) definiert.} Eine zur \textit{Schottky}schen Parameterdarstellung der \(W_2\) analoge Parameterdarstellung der \(W_p\) gewinnt Verf. zugleich mit einer Parameterdarstellung der \(W_p'\), die sich durch Projektion der \(W_p\) von einem Fundamentalpunkte aus auf einen \(S_{2p-2}\) ergibt, durch Verallgemeinerung eines für die \(W_2\) in seinem Buche (Algebraic geometry and theta functions, 1929 (F. d. M. \(55_{\text{II}}\)), Nr. 39) ausgeführten Gedankens: \(t_1, \ldots, t_{2p+2}…
zbMATH DE Number: 2564702
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.2307/2370617
OpenAlex ID: W2324719632
description: scientific article; zbMATH DE number 2564702