Generalized harmonic analysis.
In der vorliegenden Arbeit unternimmt es der Verf., einen Überblick über die wichtigsten Ergebnisse der verallgemeinerten harmonischen Analyse, unter Anwendung der von ihm ausgearbeiteten Methoden, zu geben. Der von \textit{N. Wiener} befolgte Weg erstrebt eine Einheitlichkeit in den Forschungsmethoden, die über das Formale hinaus in verschiedene Gebiete der Mathematik und Physik einzudringen gestattet. Der Kern der Methode findet sich bei \textit{Schuster}, dessen Bedeutung erst durch die mathematische Ausgestaltung der Theorie durch \textit{N. Wiener} ins richtige Licht gebracht wird. In der Sprache des Verf. läßt sich die mathematisch-statistische Theorie \textit{Schuster}s in die folgende Form fassen: Es sei gegeben eine Funktion \(f (x)\), dann bilde man \[ \varphi(x) = \lim_{T=\infty} \frac1{2T} \int\limits_{-T}^T f(x+t) \overline f(t)\,dt, \tag{1} \] woraus sich die folgende Darstellung des Spektrums \(S (u)\) der Funktion \(f (x)\) ergibt: \[ S(u) = \frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty \varphi(x) \frac{e^{ixu}-1}{ix}\,dx. \tag{2} \] Die Stellen, wo \(S (u)\) unstetig ist, geben gerade die Periodozitäten der Funktion \(f(x)\) an, während die Größe des Sprunges das Quadrat der Amplitude darstellt. Im ersten Kapitel wird nochmals ein direkter Beweis des \textit{Plancherel}schen Satzes, welcher die Beziehung quadratisch integrierbarer Funktionen zu ihren \textit{Fourier}schen Transformierten herstellt, gegeben; sodann wird auf die \textit{Schuster}sche Theorie eingegangen und diese in die Sprache des Verf. eingereiht; hierbei wird die Funktion \(S (u)\) als das integrierte Periodogramm von \(f (x)\) bezeichnet, da es gerade die Periodozitäten von \(f(u)\) angibt, deren Aufsuchung sich \textit{Schuster} zur Aufgabe stellte. Im zweiten Kapitel wird das Spektrum \(S (u)\) einer Funktionenklasse \(f(x)\) studiert, für die stets (1) existiert; für diese Klasse wird nachgewiesen, daß \(S (u)\) positiv ist, bzw. daß \(S (u)\) eine monoton wachsende Funktion ist, für die \[ S(+\infty) - S(-\infty) = \varphi(0), \] falls \(\varphi (x)\) für \(x = 0\) stetig ist. Nachher wird mit Hilfe der Verallgemeinerung des \textit{Tauber}schen Theorems der Ausdruck für \(M(f^2)\) angegeben, welcher direkt zu dem \textit{Parseval}schen Satze führt, falls man in geeigneter Weise den betrachteten Funktionen eine Transformierte (Spektrum) zuordnet. Diese Zuordnung wird nachher auch für Funktionen mit polynomialem Verhalten im Unendlichen als möglich nachgewiesen. Nebenbei wird auch die Darstellungsmöglichkeit der Funktion \(f (x)\) durch die Transformierte untersucht, und zwar sowohl für den Fall der gewöhnlichen Transformierten als auch im Falle der verallgemeinerten, von \textit{Hahn} und \textit{Bochner} studierten Transformierten. Im Kapitel III wird gezeigt, daß die verallgemeinerte ``Harmonic analysis'' in verschiedenen Richtungen verallgemeinerungsfähig ist. Im \S~8 dieses Kapitels wird die Theorie auf \(n\)-dimensionale Vektorbereiche erweitert. Im \S~9 hingegen wird eine vom Verf. aufgestellte Theorie entwickelt, welche ermöglicht, die harmonische Analyse auf lineare Aggregate von Funktionengruppen anzuwenden, wodurch Kriterien über die Kohärenz, bzw. Inkohärenz von Lichtquellen gewonnen werden. Und zwar wird einer Funktionengruppe \(f_i(t)\) eine \textit{Hermite}sche Matrix \(\| S_{ik}(u) \|\) zugeordnet, deren Elemente durch \[ S_{ik}(u) =\frac1{2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty \varphi_{ik}(\tau)\frac{e^{i\tau u}-1}{i\tau}\, d\tau \] gegeben sind, wobei \[ \varphi_{ik}(\tau)=\lim_{T\to\infty} \frac1{2T} \int\limits_{-T}^T f_i(t+\tau)\overline f_k(t)\,dt \] ist. Diese Matrix liefert gerade ein Kriterium über die Kohärenz von Lichtquellen, welche durch die Funktionen \(f_i(t)\) charakterisiert sind. In diesem Zusammenhange werden dann die einfachsten Matrizen für polarisiertes Licht untersucht, mit deren Hilfe ein quantitatives Maß für die Polarisation bestimmt wird. Nach einem Hinweise auf die \(n\)-dimensionale Korrelationstheorie wird im \S~10 die Transformationsgruppe, welche den Ausdruck \[ \int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\overline f(x)\,dx \] invariant läßt, untersucht und als analog erkannt zur Translationsgruppe, welche in der gewöhnlichen harmonischen Analysis von Belang ist. Im nächsten Kapitel IV wird die Existenz von Funktionen nachgewiesen, deren Spektrum stetig, aber nicht absolut stetig ist. Ferner wird ein anderer Weg angegeben, um konstruktiv zu beweisen, daß die vorgebrachte Theorie nicht leer ist, und dies führt gleichzeitig zu einer interessanten wahrscheinlichkeitstheoretischen Auffassung der Spektra. Im letzten Kapitel V wird auf die Theorie der fastperiodischen Funktionen speziell eingegangen. Ist \(f(x)\) fastperiodisch, so existiert \(\varphi(t)\) und somit auch das Spektrum \(S (u)\); von diesem wird nachgewiesen, daß es ein reines Linienspektrum ist, und hieraus ergibt sich die \textit{Parseval}sche Relation für fastperiodische Funktionen. Nachher wird ein neuer Beweis für den \textit{Weierstraß}schen Approximationssatz gegeben, wobei die zum Beweise verwendete Methode die Genauigkeit der Approximation festzustellen gestattet. Diese Methode ermöglicht den Approximationssatz auch auf die verallgemeinerten fastperiodischen Funktionen auszudehnen, und dies wird für die von \textit{Muckenhaupt} behandelten im Mittel fastperiodischen Funktionen explicito durchgeführt. Hierbei wird auch auf eine Anwendung der letztstudierten Klasse auf die Dynamik hingewiesen. (IV 3 C, 7, 16; VI 3; VII 3.)
scientific article; zbMATH DE number 2566842