Generalized harmonic analysis.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Generalized harmonic analysis.
zbMATH Open document ID: 56.0954.02
DOI: 10.1007/BF02546511
published in: Acta Mathematica
publication date: 1930-01-01T00:00:00Z
review text: In der vorliegenden Arbeit unternimmt es der Verf., einen Überblick über die wichtigsten Ergebnisse der verallgemeinerten harmonischen Analyse, unter Anwendung der von ihm ausgearbeiteten Methoden, zu geben. Der von \textit{N. Wiener} befolgte Weg erstrebt eine Einheitlichkeit in den Forschungsmethoden, die über das Formale hinaus in verschiedene Gebiete der Mathematik und Physik einzudringen gestattet. Der Kern der Methode findet sich bei \textit{Schuster}, dessen Bedeutung erst durch die mathematische Ausgestaltung der Theorie durch \textit{N. Wiener} ins richtige Licht gebracht wird. In der Sprache des Verf. läßt sich die mathematisch-statistische Theorie \textit{Schuster}s in die folgende Form fassen: Es sei gegeben eine Funktion \(f (x)\), dann bilde man \[ \varphi(x) = \lim_{T=\infty} \frac1{2T} \int\limits_{-T}^T f(x+t) \overline f(t)\,dt, \tag{1} \] woraus sich die folgende Darstellung des Spektrums \(S (u)\) der Funktion \(f (x)\) ergibt: \[ S(u) = \frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty \varphi(x) \frac{e^{ixu}-1}{ix}\,dx. \tag{2} \] Die Stellen, wo \(S (u)\) unstetig ist, geben gerade die Periodozitäten der Funktion \(f(x)\) an, während die Größe des Sprunges das Quadrat der Amplitude darstellt. Im ersten Kapitel wird nochmals ein direkter Beweis des \textit{Plancherel}schen Satzes, welcher die Beziehung quadratisch integrierbarer Funktionen zu ihren \textit{Fourier}schen Transformierten herstellt, gegeben; sodann wird auf die \textit{Schuster}sche Theorie eingegangen und diese in die Sprache des Verf. eingereiht; hierbei wird die Funktion \(S (u)\) als das integrierte Periodogramm von \(f (x)\) bezeichnet, da es gerade die Periodozitäten von \(f(u)\) angibt, deren Aufsuchung sich \textit{Schuster} zur Aufgabe stellte. Im zweiten Kapitel wird das Spektrum \(S (u)\) einer Funktionenklasse \(f(x)\) studiert, für die stets (1) existiert; für diese Klasse wird nachgewiesen, daß \(S (u)\) positiv ist, bzw. daß \(S (u)\) eine monoton wachsende Funktion ist, fü…
zbMATH DE Number: 2566842
MaRDI profile type: Publication
Wikidata QID: Q56094714
author: Norbert Wiener
description: scientific article; zbMATH DE number 2566842