Sur l'ordre de grandeur de la fonction \(\zeta(s)\) de Riemann dans la bande critique.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sur l'ordre de grandeur de la fonction \(\zeta(s)\) de Riemann dans la bande critique.
zbMATH Open document ID: 56.0978.03
author: J. G. van der Corput
author: J. F. Koksma
published in: Annales de la Faculté des Sciences de l'Université de Toulouse pour les Sciences Mathématiques et les Sciences Physiques. 3ième Série
publication date: 1930-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/72914
review text: Es wird allgemeiner, ohne daß die Betrachtungen erschwert werden, die Funktion \[ \zeta(s,w)=\sum_{n=0}^\infty \frac1{(n+w)^s} \] untersucht. Wir setzen \(s =\sigma +it\). Dann lautet das erste Ergebnis der Arbeit: I. Für \(0 < w \le 1\), \(\frac12\le\sigma < 1\), \(t > e\) ist \[ \left|\zeta(s,w)-\frac1{w^s}\right| < c_1\left( \frac{t^{\lambda(\sigma)}}{\log\dfrac1{1-\sigma}} + \frac1{\log\log t}\right)\cdot\log t, \] wenn \(\lambda (\sigma)\) folgendermaßen definiert ist: \(g\) sei ganz \(\ge 3\), \(\gamma=2^g\). Die Zahlen \(1-\dfrac{g}{\gamma-2}\) wachsen monoton. An diesen Stellen soll nun \(\lambda(\sigma)\) für \(\frac12\le \sigma < 1\) den Wert \(\dfrac{1}{\gamma-2}\) haben, dazwischen linear sein. Zweitens wird gezeigt: II. Wenn \(\sigma\) von den Werten \(1-\dfrac{g}{\gamma-2}\) einen festen Abstand \(\beta\) nicht unterschreitet, ist \[ \left|\zeta(s,w)-\frac1{w^s}\right| < \frac{c_2}\beta t^{\lambda(\sigma)}. \] Wir setzen \[ \varDelta=\left|\zeta(s,w)-\frac1{w^s}\right| . \] \textit{Die Einschränkungen}: Die Untersuchungen gelten dem Streifen \(0\le\sigma\le 1\). Wegen \[ |\zeta(\sigma-it)|=|\zeta(\sigma+it)| \] genügt es, \(t \ge 0\) zu betrachten. Wegen der Funktionalgleichung \[ \zeta(1-s)=\frac2{(2\pi)^s} \varGamma(s) \cos\frac{\pi s}2 \cdot \zeta(s) \] kann man sich auf \(\frac12\le\sigma\le1\) beschränken. Da das Verhalten von \(\zeta (s)\) im Rechteck \(\frac12\le\sigma\le 1\), \(0\le t\le e\) hinreichend bekannt ist, wird nur \(t > e\) betrachtet. \(\zeta(s, w)\) wird auch nur unter diesen Einschränkungen betrachtet. \textit{Die Bedeutung} der Resultate geht aus der Gegenüberstellung mit anderen hervor: 1. Wegen der Stetigkeit von \(\zeta (s, w)\) in den Punkten \(s = 1 + it\) folgt aus ihnen \[ |\zeta(1+it,w) -\frac1{w^s}| \le c_1\frac{\log t}{\log\log t} \,. \] Für \(w = 1\) ist das ein Resultat von \textit{H. Weyl} [Zur Abschätzung von \(\zeta(1+ ti)\). Math. Z. 10, 88--101 (1921; JFM 48.0346.01)). 2. Aus I. folgt \[ \varDelta<c_3t ^{\left({\…
Mathematics Subject Classification ID: 11M06
Mathematics Subject Classification ID: 11M26
zbMATH DE Number: 2566915
zbMATH Keywords: critical strip
zbMATH Keywords: Riemann zeta-function
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2319934393
DOI: 10.5802/AFST.356
description: scientific article; zbMATH DE number 2566915