Sur l'ordre de grandeur de la fonction \(\zeta(s)\) de Riemann dans la bande critique.
Es wird allgemeiner, ohne daß die Betrachtungen erschwert werden, die Funktion \[ \zeta(s,w)=\sum_{n=0}^\infty \frac1{(n+w)^s} \] untersucht. Wir setzen \(s =\sigma +it\). Dann lautet das erste Ergebnis der Arbeit: I. Für \(0 < w \le 1\), \(\frac12\le\sigma < 1\), \(t > e\) ist \[ \left|\zeta(s,w)-\frac1{w^s}\right| < c_1\left( \frac{t^{\lambda(\sigma)}}{\log\dfrac1{1-\sigma}} + \frac1{\log\log t}\right)\cdot\log t, \] wenn \(\lambda (\sigma)\) folgendermaßen definiert ist: \(g\) sei ganz \(\ge 3\), \(\gamma=2^g\). Die Zahlen \(1-\dfrac{g}{\gamma-2}\) wachsen monoton. An diesen Stellen soll nun \(\lambda(\sigma)\) für \(\frac12\le \sigma < 1\) den Wert \(\dfrac{1}{\gamma-2}\) haben, dazwischen linear sein. Zweitens wird gezeigt: II. Wenn \(\sigma\) von den Werten \(1-\dfrac{g}{\gamma-2}\) einen festen Abstand \(\beta\) nicht unterschreitet, ist \[ \left|\zeta(s,w)-\frac1{w^s}\right| < \frac{c_2}\beta t^{\lambda(\sigma)}. \] Wir setzen \[ \varDelta=\left|\zeta(s,w)-\frac1{w^s}\right| . \] \textit{Die Einschränkungen}: Die Untersuchungen gelten dem Streifen \(0\le\sigma\le 1\). Wegen \[ |\zeta(\sigma-it)|=|\zeta(\sigma+it)| \] genügt es, \(t \ge 0\) zu betrachten. Wegen der Funktionalgleichung \[ \zeta(1-s)=\frac2{(2\pi)^s} \varGamma(s) \cos\frac{\pi s}2 \cdot \zeta(s) \] kann man sich auf \(\frac12\le\sigma\le1\) beschränken. Da das Verhalten von \(\zeta (s)\) im Rechteck \(\frac12\le\sigma\le 1\), \(0\le t\le e\) hinreichend bekannt ist, wird nur \(t > e\) betrachtet. \(\zeta(s, w)\) wird auch nur unter diesen Einschränkungen betrachtet. \textit{Die Bedeutung} der Resultate geht aus der Gegenüberstellung mit anderen hervor: 1. Wegen der Stetigkeit von \(\zeta (s, w)\) in den Punkten \(s = 1 + it\) folgt aus ihnen \[ |\zeta(1+it,w) -\frac1{w^s}| \le c_1\frac{\log t}{\log\log t} \,. \] Für \(w = 1\) ist das ein Resultat von \textit{H. Weyl} [Zur Abschätzung von \(\zeta(1+ ti)\). Math. Z. 10, 88--101 (1921; JFM 48.0346.01)). 2. Aus I. folgt \[ \varDelta<c_3t ^{\left({\textstyle \frac{1-\sigma}{\log\tfrac1{1-\sigma}} \cdot}\log2\right)} \cdot\frac{\log t}{\log \log t} \] für \(\frac12\le\sigma < 1\). Das ist schärfer als das Ergebnis von Hardy-Littlewood [\textit{J. E. Littlewood}, Proc. Lond. Math. Soc. (2) 20, 22--28 (1922; JFM 48.0403.05)] \[ \varDelta<c_4t ^{\left({\tfrac{c_5(1-\sigma)}{\log\tfrac1{1-\sigma}}} \right)} \cdot\frac{\log t}{\log \log t} \] und als die von \textit{E. Landau} [Math. Z. 20, 105--125 (1924; JFM 50.0232.01); vgl. auch ``Vorlesungen über Zahlentheorie'' Bd. 2 (1927; JFM 53.0123.17), S. 38] dafür gegebene Verbesserung für \(\dfrac{63}{64}\le\sigma<1\): \[ \varDelta<c_6t ^{\left({\tfrac{4(1-\sigma)}{\log\tfrac1{1-\sigma}}} \right)} \cdot\frac{\log t}{\log \log t}\,. \] 3. Sei \(\mu (\sigma)\) (Lindelöf) die untere Grenze aller \(\mu'\), für die es (bei festem \(\sigma\) und \(w\)) ein von \(t\) unabhängiges \(C\) gibt, so daß \(\varDelta < Ct^{\mu'}\) ist. Dann ist also \(\mu(\sigma)\le \lambda(\sigma)\) (\(\frac12\le\sigma<1\)). \textit{Hardy-Littlewood} und \textit{Landau} haben eine obere Schranke für \(\mu(\sigma)\) angegeben, \(\nu (\sigma)\), die so definiert ist: \(r\) sei ganz \(\geqq 0\), \(\varrho= 2^r\). Dann ist \(\nu (\sigma) =\dfrac1{(r+2)\varrho}\) an den Stellen \(\sigma=1-\dfrac1\varrho\), dazwischen linear \(\left(\dfrac12\leqq\sigma<1\right)\). (Vgl. z. B. \textit{Landau} loc. cit. und ``Vorlesungen über Zahlentheorie. (1927; JFM 53.0123.17), Bd. 2, S. 55.] Es ist aber \(\lambda (\sigma) < \nu (\sigma)\). 4. Nur das Resultat von \textit{A. Walfisz}: \[ |\zeta(\tfrac12+it)| < c_9 t^{\frac{163}{988}} \qquad(t>e) \] [Zur Abschätzung von \(\zeta(\tfrac12+ it)\). Nachr. Gött. 1924, 155--158 (1924; JFM 50.0229.02)] folgt nicht aus I. und II. \textit{Der Beweis} von I. gründet sich hauptsächlich auf die folgenden Sätze: Satz 2. Wenn \(t \ge 1\), \(\frac12\le\sigma\le1\) ist, gilt \[ \left|\zeta(s,w) -\sum_{n=0}^{E\left(t^{4/3}\right)} \frac1{(n+w)^s}\right| <c_{13}, \] wo \(E(u)\) die nächst kleinere ganze Zahl unter \(u\) ist. Wichtig ist der Satz von \textit{J. G. van der Corput} [Neue zahlentheoretische Abschätzungen. II. Math. Z. 29, 397--426 (1928; JFM 54.0204.02)], nämlich Satz 3: \(a\) und \(b\) seien ganze Zahlen, \(a < b\). Über \(a \le x\le b\) sei \(f(x)\) \(k\)-mal differenzierbar. Es mag zwei positive Konstanten \(r\) und \(R\) geben, so daß für alle \(x\) des Intervalls \(r \le f^{(k)}(x) \le R\) ist (oder \(-R\le f^{(k)}(x) \le -r\)). Wir setzen \(\varkappa= 2^k\). Dann ist \[ \left|\sum_{n=a}^b e^{2\pi if(n)}\right| <c_{14}(b-a) \left\{\left(\frac r{R^2}\right)^{ -\frac{1}{\varkappa-2}} + \bigl(r(b-a)^k\bigr)^{-\frac2\varkappa} +\left(\frac R{r(b-a)} \right)^{-\frac2\varkappa}\right\}. \] Mit Hilfe dieses Satzes wird bewiesen: Satz 7: Es sei \(g \geqq 3\), \(\gamma = 2^g\). Wir ordnen jedem \(\sigma\) das \(g\) zu, für das \[ 1<\frac g{\gamma-2} \le\sigma <1-\frac{g+1}{2\gamma-2} \] ist für \(\frac12\le\sigma < 1\). Dann ist für \(t > e\): \[ \left| \sum_{n=E(t)+1}^{E\left(t^{4/3}\right)} \frac1{(n+w)^s}\right| <c_{18}+\frac{c_{19}}g t^{\lambda(\sigma)} \log t. \] Die linke Seite liegt außerdem unter \(\dfrac{c_{20}}{1-\sigma-\dfrac{g+1}{2\gamma-2}}\cdot t^{\lambda(\sigma)}\). Satz 3 wird auch zum Beweise des Satzes 8 gebraucht. Satz 8: \[ \left|\sum_{n=1}^{E\left(\tfrac{\gamma}{t^{g\gamma-\gamma+2}}\right)} \frac1{(n+w)^s}\right| < 1+ \frac{c_{25}}g t^{\lambda(\sigma)} \cdot \log t.\] Die linke Seite ist außerdem kleiner als \(\dfrac{c_{26}}{1-\sigma-\dfrac{g+1}{2\gamma-2}}\cdot t^{\lambda(\sigma)} +1\). Die weiteren Untersuchungen dienen der Vorbereitung und dem Beweis des Satzes 13 (auch Satz 3 wird dazu wieder gebraucht). Satz 13: Für \(t > e\) ist \[ \sum_{n=E\left(\tfrac\gamma{t^{g\gamma-\gamma+2}}\right)+1}^{E(t)} \frac1{(n+w)^s} < c_{34} \left(\frac{t^{\lambda(\sigma)}}g +\frac1{\log\log t}\right) \log t. \] Damit sind die Mittel zum Beweise von I entwickelt. Zum Beweise von II müssen sie dann noch etwas erweitert werden.
scientific article; zbMATH DE number 2566915