Self reciprocal functions.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Self reciprocal functions.
zbMATH Open document ID: 56.1016.02
author: G. H. Hardy
author: Edward Charles Titchmarsh
published in: The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford Series
publication date: 1930-01-01T00:00:00Z
review text: Es handelt sich zunächst um diejenigen Funktionen \(f(x)\), die ihre eigenen \textit{Fourier}schen Cosinustransformierten sind, die also der Integralgleichung \[ f(x)=\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\int\limits_0^\infty \cos (xy)f(y)dy\tag{1} \] genügen. Rein formal werden zunächst zwei Darstellungen für solche ``selbstreziproke'' \(f (x)\) gegeben: Geht man von \[ \varPhi(s)=\int\limits_0^\infty x^{s-1}f(x)\,dx \] aus und setzt hier (1) ein, so ergibt sich \[ \varPhi(s)=2^{\tfrac{s}{2}}\varGamma\biggl(\dfrac{s}{2}\biggr)\psi(s); \quad \psi(s)=\psi(1-s). \] Und die \textit{Mellin}sche Umkehrformel liefert für geeignetes \(c\): \[ f(x)=\dfrac{1}{2\pi i}\int\limits_{c-i\infty}^{c+i\infty} 2^{\tfrac{s}{2}}\varGamma\biggl(\dfrac{s}{2}\biggl) \psi(s)x^{-s}\,ds. \tag{2} \] Geht man von \[ \lambda(s)=\int\limits_0^\infty e^{-\frac{s}{2}x^2} f(x)\,dx \] aus, so wird ebenso \[ \lambda(s) = s^{-\frac14}\mu(s); \quad \mu(s) = \mu\biggl(\dfrac{1}{s}\biggr), \] und eine Integralumkehrformel von \textit{Pincherle} ergibt \[ f(x)=\dfrac{x}{2\pi i}\int\limits_{c-i\infty}^{c+i\infty}e^{\frac{s}{2}x^2} s^{-\frac14}\mu(s)ds.\tag{3} \] Die Verfasser untersuchen nun, unter welchen Voraussetzungen diese formalen Herleitungen legitim sind. Sie betrachten teils reelle \(f(x)\) aus gewissen \textit{Lebesgue}schen Klassen \(L^p\), teils analytische, und geben eine Reihe notwendiger und hinreichender Bedingungen für die Erzeugung selbstreziproker Funktionen durch die Formeln (2) und (3) an. Hier mag als Beispiel ihr Theorem l genügen: \(f(x)\) sei in \((0, \infty)\) aus \(L^2\). Es ist dann und nur dann selbst-reziprok, wenn \(f(x)\) durch (2) mit \(c=\tfrac12\) ``im quadratischen Mittel'' dargestellt wird, wobei \(\psi(s) = \psi(1 - s)\) ist und die Funktion \(\varPhi (\frac12 + it)=\chi (t)\) in \((-\infty, \infty )\) zur Klasse \(L^2\) gehört. Alle Sätze werden ferner auf bei \textit{Hankel}scher Transformation selbstreziproke Funktionen \[ f(x)=\int_0^\infty\sqrt{xy}I_\nu(xy)\,f(y)\,dy, \quad \nu\ge…
zbMATH DE Number: 2567019
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: os-1.1.196
OpenAlex ID: W1968135324
DOI: 10.1093/QMATH/OS-1.1.196
description: scientific article; zbMATH DE number 2567019