Über die Erzeugenden von Kongruenzuntergruppe der Modulgruppe.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über die Erzeugenden von Kongruenzuntergruppe der Modulgruppe.
zbMATH Open document ID: 55.0083.02
DOI: 10.1007/BF02941169
published in: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg
publication date: 1929-01-01T00:00:00Z
review text: Mit Hilfe der von \textit{Reidemeister} (Abhandlungen Hamburg 5 (1926), 7-23; F. d M. 52) und \textit{Schreier} (1927; F. d. M. 53, 110 (JFM 53.0110.*)) entwickelten Methoden bestimmt Verf. ein System von Erzeugenden und Relationen der Kongruenzuntergruppen der inhomogenen Modulgruppe. Verf. führt seine Untersuchungen für einen Primzahlmodul \(p\) durch und gelangt zu einer Aufstellung eines Systems von Erzeugenden und Relationen in Abhängigkeit von \(p\). Die Erzeugenden sind \[ S,\quad TS^pT^{-1}=U,\quad TS^kTS^{-k^*}T^{-1}=V_k\qquad(1\leqq k\leqq p-1), \] wobei \[ S=\begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix},\quad T=\begin{pmatrix} \l&\;\r\\ 0&-1\\1&0 \end{pmatrix} \] und k\(^*\) durch die Kongruenz \[ kk^* \equiv-1\pmod p \] bestimmt ist. Dazu ergeben sich die Relationen \[ \begin{matrix} \r&\qquad\l\\ V_kV_{k^*}=1&(1\leqq k\leqq p-1),\\ V_1US=1,&\\ V_kV_{k_1}V_{k_2}=1,&(2\leqq k\leqq p-1), \end{matrix} \] wobei \(k_1=k^*+1\), \(k_2=k_1^*+1\) ist. Auf dieses System kann noch ein Reduktionsverfahren angewandt werden, das zu folgendem Resultat führt: die Kongruenzuntergruppe \(\mod p\) der inhomogenen Modulgruppe läßt sich darstellen durch \(2\left[\dfrac p{12}\right]+3\) Erzeugende; die einzigen Relationen bestehen darin, daß gewisse Erzeugende von endlicher Ordnung sind. Die Relationen sind durch das Reduktionsverfahren bestimmbar, so daß die Struktur der Gruppe vollständig bestimmt ist.
reviewed by: Erika Dr. Pannwitz
zbMATH DE Number: 2569426
MaRDI profile type: Publication
author: Hans A. Rademacher
description: scientific article; zbMATH DE number 2569426