Beiträge zur Theorie der Orthogonalentwicklungen. I, II.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Beiträge zur Theorie der Orthogonalentwicklungen. I, II.
zbMATH Open document ID: 55.0164.02
published in: Studia Mathematica
publication date: 1929-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/216979
review text: Wegen der überaus zahlreichen, besonders eingeführten Begriffe und Symbole kann der Inhalt dieser reichhaltigen, sehr konzentriert geschriebenen Arbeit nur unvollkommen wiedergegeben werden. Es handelt sich um die Untersuchung von Orthogonalreihen, die sich in normierten Vektorbereichen im Sinne von \textit{Banach} (1922; F. d. M. 48, 201 (JFM 48.0201.*)-202) bewegt und mit der Methode der linearen Funktionaloperationen arbeitet. Ist \(\{\varphi_i(x)\}\) ein normiertes Orthogonalsystem (\(OS\)) in \(\langle 0, 1 \rangle\), so heißt jede Reihe der Form \(\sum c_\nu\varphi_\nu\) eine Orthogonalreihe (\(OR\)). Haben die \(c_\nu\) die Form \(\textstyle \int\limits_{0}^{1}f(x)\,\varphi_\nu(x)\,dx\), so heißt die Reihe eine Orthogonalentwicklung (\(OE\)) von \(f(x)\) nach dem \(OS\{\varphi_i\}\), die \(c_\nu\) die Orthogonalkoeffizienten (\(OK\)). Mit \(s_n[f]\) werden die Teilsummen bezeichnet. Ist \(V\) ein aus integrierbaren Funktionen bestehender Vektorbereich (s. \textit{Banach}) und \(\{\varphi_i\}\) ein \(OS\), nach welchem jede Funktion aus \(V\) entwickelt werden kann, so heißt das \(OS\{\varphi_i\}\) vollständig in \(V\), falls für eine Funktion \(f_\varepsilon V\) aus den Gleichungen \[ \textstyle \int\limits_{0}^{1} \displaystyle f\cdot\varphi_n\,dx=0,\qquad(n=1,2,\dots ), \] notwendig, bis auf eine Nullmenge, \(f=0\) folgt. Ein \(OS\{\varphi_i\}\) heißt abgeschlossen in \(V\), wenn es zu jeder Funktion \(f_\varepsilon V\) und zu jedem \(\eta>0\) ein solches Orthogonalpolynom \(k_\eta(x)=\sum c_\nu^{(\eta)}\varphi_\nu\) gibt, daß die Ungleichung \[ \|\,k_\eta(x)-f(x)\,\|<\eta \] gilt, bei der der Doppelstrich die Norm der Funktion in dem Vektorbereich bedeutet. Es werden dann zahlreiche Sätze (im ganzen 26) bewiesen, die zunächst bei den \(OE\) die Konvergenz im Mittel mit der Potenz \(\delta\) behandeln, sodann über Faktorenfolgen aufklären, welche \(OK\) wieder in \(OK\) überführen, und schließlich die Eigenschaften der \(OK\) von Funktionen aus den Bereiche…
zbMATH DE Number: 2569811
Wikidata QID: Q107599842
author: Władysław Orlicz
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W4256501624
DOI: 10.4064/SM-1-1-1-39
description: scientific article; zbMATH DE number 2569811