Sur les fonctionelles linéaires. II.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sur les fonctionelles linéaires. II.
zbMATH Open document ID: 55.0240.01
published in: Studia Mathematica
publication date: 1929-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/216978
review text: A. Anknüpfend an die vorstehende gleichbetitelte Arbeit des Verf. wird zunächst eine lineare Menge \(L\) von linearen Funktionalen \(f (x)\), welche in einer normierten und vollständigen vektoriellen Menge \(E\) definiert sind, betrachtet. 1. \(\vartheta\) sei eine Limeszahl, \(\{c_\xi\}\) (\(1\leqq\xi < \vartheta\)) eine beschränkte Folge reeller Zahlen vom Ordnungstypus \(\vartheta\). Dann bedeute \[ \varlimsup_{\xi\to\vartheta} c_\xi \] die untere Grenze der Zahlen \(K\), für welche die Ungleichung \(c_\xi \leqq K\) von einer bestimmten (von \(K\) abhängigen) Ordnungszahl ab erfüllt ist. (Analog: \(\varliminf\limits_{\xi\to\vartheta} c_\xi = \varlimsup\limits_{\xi\to\vartheta}(- c_\xi)\).) Ist \(\{f_\xi(x)\}\) eine Folge linearer Funktionale vom Typus \(\vartheta\), deren Norm \[ \| f_\xi\|_E\leqq M\qquad (1\leqq\xi<\vartheta) \] ist, dann gibt es ein lineares Funktional \(f (x)\), das für jedes \(x\subset E\) den Ungleichungen \[ \varliminf_{\xi\to\vartheta} f_\xi (x) \leqq f (x) \leqq \varlimsup_{\xi\to\vartheta} f_\xi (x) \] genügt. Jedes derartige lineare Funktional \(f (x)\) heiße ein ``Grenzfunktional'' der Folge \(\{f_\xi(x)\}\). \(L\) heißt ``schwach abgeschlossen'', falls für jede Limeszahl \(\vartheta\) und jede Folge \(\{f_\xi\}\) (\(f_\xi\subset L\), \(\|f_\xi\|\) beschränkt) vom Typus \(\vartheta\) ein zu \(L\) gehöriges Grenzfunktional existiert. Satz: Ist \(L\) schwach abgeschlossen und \(\varphi\) ein nicht zu \(L \) gehöriges lineares Funktional, bezeichnet ferner \(M\) die untere Grenze der Zahlen \(\| f- \varphi \|\) (\(f \subset L\)) und \(M_1\) eine positive Zahl \({}< M\), dann existiert ein \(x_0 \subset E\) so, daß \[ f(x_0) = 0,\quad \varphi(x_0) = 1,\quad \| x_0\|\leqq M_1. \] Daraus folgt, daß, falls das Nullelement das einzige Element aus \(E\) ist, in dem alle Funktionale aus \(L\) verschwinden, \(L\) notwendig alle linearen Funktionale enthält. 2. Eine Folge linearer Funktionale \(\{f_n(x)\}\) heißt ``schwach konvergent'' gegen ein F…
zbMATH DE Number: 2570123
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W4214777814
DOI: 10.4064/SM-1-1-223-239
author: Stefan Banach
description: scientific article; zbMATH DE number 2570123