On the foundations of algebraic geometry
Es handelt sich in dieser reichhaltigen Arbeit vor allem um eine rein algebraisch-geometrische Definition der Schnittpunktsmultiplizität, um den Beweis des verallgemeinerten Bézoutschen Theorems und des Prinzips der Erhaltung der Anzahl. Zunächst wird die Ordnung einer Mannigfaltigkeit \(M_k\) im projektiven Raum \(S_r\), definiert durch Zurückführung auf den Begriff der Ordnung einer Hyperfläche, indem die \(M_k\) aus einem allgemeinen Punkt auf eine \(S_{k+1}\) projiziert wird. Die Ordnung von \(M_k\) ist auch gleich der Anzahl ihrer Schnittpunkte mit einer allgemeinen \(S_{n-r}\), des \(S_r\). Sind nun zwei Mannigfaltigkeiten \(V_k\), \(W_{n-k}\) von den Ordnungen \(m, n\) in \(S_r\) gegeben und bildet man aus \(W\) die Familie aller Mannigfaltigkeiten \(\overline{W}\), die durch projektive Transformationen in \(W\) übergehen können (oder eine noch umfassendere irreduzible Familie), so wird das verallgemeinerte Bézoutsche Theorem folgendermaßen formuliert: Die allgemeine Mannigfaltigkeit \(W\) schneidet \(Y\) in genau \(m\cdot n\) Punkten. Die Vielfachheit eines isolierten Schnittpunktes \(P\) von \(Y, W\) ist gleich der Anzahl der Schnittpunkte von \(V\) und \(\overline{W}\), die gegen \(P\) konvergieren, wenn \(\overline{W}\) in der Familie gegen \(W\) strebt. Haben \(V, W\) nur endlich viele Punkte gemein, so ist die Summe der Vielfachheiten dieser Schnittpunkte gleich \(m\cdot n\). Der Beweis benutzt das Chaslessche Korrespondenzprinzip (mit der Zeuthenschen Regel), angewandt auf die Punktepaare \(A, A'\), bei denen \(A\) auf \(Y\), \(A'\) auf \(W\) (bzw. \(\overline{W}\)) liegt und die Verbindungslinie \(AA'\) durch einen festen Punkt \(S\) geht. Dabei zeigt sich noch: Der Schnittpunkt \(P\) zählt einfach, wenn \(Y\) und \(W\) durch \(P\) einfach hindurchgehen und keine gemeinsame Tangente haben. Die obige Multiplizitätsdef. stimmt mit der vom Ref. [Math. Ann. 99, 497--541 (1928; JFM 54.0141.01)] gegebenen überein. Sie versagt, wenn \(V_k\), \(W_{r_k}\) nicht dem \(S_r\), sondern einer Mannigfaltigkeit \(M_r\) des Raumes \(S_d\) angehören, wobei \(P\) kein singulärer Punkt von \(M_r\) sein darf. Verf. gibt für diesen Fall statt der topologischen Def. von Lefschetz und Ref. die folgende geometrische Def.: Man betrachte eine Mannigfaltigkeit \(H = V + V'\) in \(M\), derart, daß \(Y'\) nicht durch \(P\) geht und \(H\) in einer kontinuierlichen Familie enthalten ist, deren allgemeine Mannigfaltigkeit \(\overline{H}\) mit \(W\) in der Umgebung von \(P\) nur einfache Schnitte besitzt, und definiere die Vielfachheit von \(P\) wie oben durch den Grenzübergang \(\overline{H}\to H\) kann. \(H\) kann z. B. durch Projektion von \(Y\) aus einem allgemeinen \(S_{d-r-1}\) des Raumes \(S_r\) erhalten werden. Die Vielfachheit ist unabhängig von der Wahl von \(H\), symmetrisch bei Vertauschung von \(Y\) und \(W\) und invariant bei algebraischen Transformationen, die in der Umgebung von \(P\) eineindeutig sind. Sie ist \(1\), wenn \(Y\) und \(W\) in \(P\) keine Tangente gemeinsam haben. Der Begriff wird noch auf den Fall zweier Mannigfaltigkeiten \(V_h\), \(W_k\) mit \(h+k< r\) ausgedehnt. Schließlich wird die vom Verf. 1912 gegebene Formulierung des Prinzips der Erhaltung der Anzahl näher begründet und der Begriff der virtuellen Schnittpunktszahl zweier Mannigfaltigkeiten \(V_k\), \(W_{r-k}\) in \(M_r\) erklärt.
scientific article; zbMATH DE number 3009474