On the foundations of algebraic geometry
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the foundations of algebraic geometry
zbMATH Open document ID: 0007.07501
DOI: 10.1007/BF02940659
published in: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg
publication date: 1933-01-01T00:00:00Z
review text: Es handelt sich in dieser reichhaltigen Arbeit vor allem um eine rein algebraisch-geometrische Definition der Schnittpunktsmultiplizität, um den Beweis des verallgemeinerten Bézoutschen Theorems und des Prinzips der Erhaltung der Anzahl. Zunächst wird die Ordnung einer Mannigfaltigkeit \(M_k\) im projektiven Raum \(S_r\), definiert durch Zurückführung auf den Begriff der Ordnung einer Hyperfläche, indem die \(M_k\) aus einem allgemeinen Punkt auf eine \(S_{k+1}\) projiziert wird. Die Ordnung von \(M_k\) ist auch gleich der Anzahl ihrer Schnittpunkte mit einer allgemeinen \(S_{n-r}\), des \(S_r\). Sind nun zwei Mannigfaltigkeiten \(V_k\), \(W_{n-k}\) von den Ordnungen \(m, n\) in \(S_r\) gegeben und bildet man aus \(W\) die Familie aller Mannigfaltigkeiten \(\overline{W}\), die durch projektive Transformationen in \(W\) übergehen können (oder eine noch umfassendere irreduzible Familie), so wird das verallgemeinerte Bézoutsche Theorem folgendermaßen formuliert: Die allgemeine Mannigfaltigkeit \(W\) schneidet \(Y\) in genau \(m\cdot n\) Punkten. Die Vielfachheit eines isolierten Schnittpunktes \(P\) von \(Y, W\) ist gleich der Anzahl der Schnittpunkte von \(V\) und \(\overline{W}\), die gegen \(P\) konvergieren, wenn \(\overline{W}\) in der Familie gegen \(W\) strebt. Haben \(V, W\) nur endlich viele Punkte gemein, so ist die Summe der Vielfachheiten dieser Schnittpunkte gleich \(m\cdot n\). Der Beweis benutzt das Chaslessche Korrespondenzprinzip (mit der Zeuthenschen Regel), angewandt auf die Punktepaare \(A, A'\), bei denen \(A\) auf \(Y\), \(A'\) auf \(W\) (bzw. \(\overline{W}\)) liegt und die Verbindungslinie \(AA'\) durch einen festen Punkt \(S\) geht. Dabei zeigt sich noch: Der Schnittpunkt \(P\) zählt einfach, wenn \(Y\) und \(W\) durch \(P\) einfach hindurchgehen und keine gemeinsame Tangente haben. Die obige Multiplizitätsdef. stimmt mit der vom Ref. [Math. Ann. 99, 497--541 (1928; JFM 54.0141.01)] gegebenen überein. Sie versagt, wenn \(V_k\), \(W_{r_k}\) nich…
Mathematics Subject Classification ID: 14-02
Mathematics Subject Classification ID: 14Axx
Mathematics Subject Classification ID: 14C17
zbMATH DE Number: 3009474
zbMATH Keywords: algebraic geometry
author: Francesco Severi
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf02940659
OpenAlex ID: W125794205
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description: scientific article; zbMATH DE number 3009474