Some methodological investigations on the definability of concepts
type: Item
instance of: scholarly article
title: Some methodological investigations on the definability of concepts
zbMATH Open document ID: 0012.00101
DOI: 10.1007/BF00172286
published in: Erkenntnis
publication date: 1935-01-01T00:00:00Z
review text: Der erste Teil beschäftigt sich mit dem von \textit{A. Padoa} [Congr. Int. Math. (Paris 1900), 353--363 (1902; JFM 32.0485.07) und Enseign. Math. 5, 85--91 (1903; JFM 34.0530.01)] in speziellen Fällen betrachteten Problem der gegenseitigen Unabhängigkeit (Nichtdefinierbarkeit) der spezifischen Zeichen einer Theorie. \(\psi(a, b', b'', \ldots, c', c'', \ldots)\) sei die Axiomenkonjunktion einer deduktiven Theorie (es wird dabei eine unverzweigte Typentheorie zugrunde gelegt), \(a, b', b'', \ldots, c', c'', \ldots\) die darin auftretenden spezifischen Zeichen (außerlogischen Konstanten). Betrachtet man \(a\) als mit Hilfe von \(b', b'', \ldots\) definierbar, wenn ein Satz der Gestalt \((x): x=a \cdot\equiv \cdot \varphi(x, b', b'', \ldots)\) beweisbar ist, so ist die Beweisbarkeit von \[ (x): x=a\cdot\equiv \cdot (\exists z', z'', \ldots)\cdot \psi(x, b', b'',\ldots, z', z'',\ldots) \] notwendig und hinreichend für die Definierbarkeit des Zeichens \(a\) mit Hilfe der Zeichen \(b', b",\ldots\). Im Mittelpunkt des zweiten Teils steht die Vollständigkeit in bezug auf die spezifischen Zeichen. Eine Satzmenge \(X\) wird vollständig in bezug auf ihre spezifischen Zeichen genannt, wenn sich keine kategorische Satzmenge \(Y\) angeben läßt, die \(X\) umfaßt und in der spezifische Zeichen auftreten, welche nicht auf Grund von \(Y\) mit Hilfe der in \(X\) auftretenden Zeichen definiert werden können. Bei etwas engerer Fassung des Isomorphiebegriffs als üblich gilt der Satz: Eine monotransformable Satzmenge (das ist eine solche, deren Interpretationen keinen nichtidentischen Automorphismus zulassen) ist in bezug auf ihre spezifischen Zeichen vollständig. Der Beweis (der Autor versichert, daß sich die Beweisskizze einwandfrei logistisch präzisieren lasse) benutzt den angegebenen Satz über die Definierbarkeit. Ob die Umkehrung gilt, ist noch unentschieden. In Anwendung des genannten Satzes schließt die Arbeit mit einer Betrachtung betreffs der Aussichten einer kategorischen dedukti…
Mathematics Subject Classification ID: 03Axx
zbMATH DE Number: 3017944
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf00172286
OpenAlex ID: W2317970288
author: Alfred Tarski
description: scientific article; zbMATH DE number 3017944