Transcendence of certain reciprocal sums of linear recurrences
Ist \(C\) ein Körper der Charakteristik Null, so untersuchen Verff. zunächst Funktionen \(f(z) := \sum_{k\geq 0} a^k z^{d^k}/(1+bz^{d^k}+cz^{2d^k})\), wobei \(d\in{\mathbb N}\setminus\{1\}\) und \(a,b,c\in C, a\not= 0\) sind. Sie beweisen, daß \(f\) genau dann transzendent über \(C(z)\) ist, wenn entweder \(d\geq 3\) gilt oder \(d = 2\) und \((a,b,c)\not=(1,0,-1), (4,2,1), (-2,-1,1), (2,1,0)\). In den vier Ausnahmefällen reduziert sich \(f\) jeweils auf eine explizit angegebene rationale Funktion. Indem sie die vorstehende Charakterisierung in Verbindung mit dem von \textit{K. Nishioka} [Monatsh. Math. 123, 135-148 (1997; Zbl 0870.11042)] entwickelten Beitrag zur Mahlerschen Methode verwenden, zeigen Verff. weiter: Sei \((R_n)_{n\geq 0}\) eine Folge in \({\mathbb Z}\), die der linearen Rekurrenz \(R_{n+2} = AR_{n+1}+BR_n \;(n\geq 0)\) mit \(A,B\in{\mathbb Z}, A\not=0, A^2+4B > 0\) kein Quadrat und \((R_0, R_1)\in {\mathbb Z}^2, \not= (0,0)\) genüge. Seien \(b,c,d,\ell\in{\mathbb Z}, c > 0, d > 1\) und sei \((a_k)_{k\geq 0}\in\overline{\mathbb Q}^{{\mathbb N}_0}\) eine nicht identisch verschwindende lineare Rekurrenz. Dann ist die Reihe \((\ast)\) \(\sum_{k\geq 0}' a_k/(R_{cd^k+\ell}+b)\) (wobei \(\sum_{k\geq 0}'\) bedeutet, daß über genau die \(k \geq 0\) mit \(cd^k+\ell\geq 0\) und \(R_{cd^k+\ell} \not= 0\) zu summieren ist) transzendent außer in den folgenden drei Fällen, in denen (zusätzlich) jeweils \(|B|= 1\) und \(d = 2\) gilt: (i) \(b = 0\), \(R_\ell = 0\) und \((a_k)\) ist konstant; (ii) \(AR_\ell = 2R_{\ell+1}\), \(R_\ell = b\) und \(a_k = 4^kc\;(k\geq 0)\) mit einem \(c\in\overline{\mathbb Q}^\times\); (iii) \(AR_\ell = 2R_{\ell+1}\), \(R_\ell = -2b\) und \(a_k = (-2)^kc \;(k\geq 0)\) mit \(c\in\overline{\mathbb Q}^\times\). Mit denselben Hilfsmitteln gewinnen Verff. hinreichende Bedingungen für die Transzendenz von Reihen des Typs \((\ast)\) im Spezialfall \(b = 0\), wobei nun \((R_n)\in{\mathbb Z}^ {{\mathbb N}_0}\) eine ternäre lineare Rekurrenz ist, deren Koeffizienten geeignete Bedingungen erfüllen müssen.
scientific article; zbMATH DE number 1837390