Energy of radial vector fields on compact rank one symmetric spaces
Sur une variété riemannienne compacte \((M,g)\), les auteurs étudient les champs de vecteurs unitaires \(\xi\) dont l'ensemble des singularités \({\mathcal C}\) consiste en une union finie de sous-varietés compactes disjointes et de points. L'espace tangent unitaire \(T_1M\) est muni de la métrique de Sasaki \(g_s\), et on considère l'application \(\xi\) de \((M,g)\) dans \((T_1M,g_s): x\to\xi_x\), et son énergie \(E(\xi)\). Il s'agit de déterminer s'il existe un champ de vecteurs unitaires (dit harmonique) dont l'énergie est minimum ou un point critique de la fonctionnelle \(E(\xi)= B(\xi)+{n\over 2} \text{vol}(M,g)\) où \(B(\xi)= {1\over 2}\int_M \|\nabla\xi\|^2 \,dv\) est la fonctionnelle énergie verticale. \(B(\xi)= 0\) que pour les champs de vecteurs parallèles. Plusieurs résultats dans le cas général sont démontrés comme: Le tore est l'unique surface compacte orientée admettant un champ de vecteurs unitaires \(V\) avec \(B(V)< \infty\). Lorsque \(n\geq 3\), \(B(V)\geq {1\over 2(n-2)} \int_M\rho(V,V)\,dv\), où \(f\) est le tenseur de Ricci. Puis les auteurs s'intéressent aux champs de vecteurs unitaires \(\xi\) qui sont le champ de gradient de la fonction distance à un point. Ils calculent \(B(\xi)\) pour les espaces symétriques compacts de rang 1. Par exemple pour la sphère de courbure \(\lambda> 0\), \(B(\xi)= {n-1\over 2(n-2)}\lambda \text{vol}(S_n(\lambda))\). Sur ces espaces \(B(\xi)\) est calculé pour d'autres champs de vecteurs unitaires particuliers.
energy and total bending of a unit vector field
radial unit vector fields on compact rank one symmetric spaces
scientific article; zbMATH DE number 1901462