Energy of radial vector fields on compact rank one symmetric spaces
type: Item
instance of: scholarly article
title: Energy of radial vector fields on compact rank one symmetric spaces
zbMATH Open document ID: 1035.53071
DOI: 10.1023/A:1021259000387
author: Eric Boeckx
author: J. C. González-Dávila
author: Lieven Vanhecke
published in: Annals of Global Analysis and Geometry
publication date: 2003-04-27T00:00:00Z
review text: Sur une variété riemannienne compacte \((M,g)\), les auteurs étudient les champs de vecteurs unitaires \(\xi\) dont l'ensemble des singularités \({\mathcal C}\) consiste en une union finie de sous-varietés compactes disjointes et de points. L'espace tangent unitaire \(T_1M\) est muni de la métrique de Sasaki \(g_s\), et on considère l'application \(\xi\) de \((M,g)\) dans \((T_1M,g_s): x\to\xi_x\), et son énergie \(E(\xi)\). Il s'agit de déterminer s'il existe un champ de vecteurs unitaires (dit harmonique) dont l'énergie est minimum ou un point critique de la fonctionnelle \(E(\xi)= B(\xi)+{n\over 2} \text{vol}(M,g)\) où \(B(\xi)= {1\over 2}\int_M \|\nabla\xi\|^2 \,dv\) est la fonctionnelle énergie verticale. \(B(\xi)= 0\) que pour les champs de vecteurs parallèles. Plusieurs résultats dans le cas général sont démontrés comme: Le tore est l'unique surface compacte orientée admettant un champ de vecteurs unitaires \(V\) avec \(B(V)< \infty\). Lorsque \(n\geq 3\), \(B(V)\geq {1\over 2(n-2)} \int_M\rho(V,V)\,dv\), où \(f\) est le tenseur de Ricci. Puis les auteurs s'intéressent aux champs de vecteurs unitaires \(\xi\) qui sont le champ de gradient de la fonction distance à un point. Ils calculent \(B(\xi)\) pour les espaces symétriques compacts de rang 1. Par exemple pour la sphère de courbure \(\lambda> 0\), \(B(\xi)= {n-1\over 2(n-2)}\lambda \text{vol}(S_n(\lambda))\). Sur ces espaces \(B(\xi)\) est calculé pour d'autres champs de vecteurs unitaires particuliers.
Mathematics Subject Classification ID: 53C35
Mathematics Subject Classification ID: 53C20
Mathematics Subject Classification ID: 58E20
Mathematics Subject Classification ID: 53C40
zbMATH DE Number: 1901462
zbMATH Keywords: unit vector fields with singularities
zbMATH Keywords: energy and total bending of a unit vector field
zbMATH Keywords: harmonic unit vector fields
zbMATH Keywords: radial unit vector fields on compact rank one symmetric spaces
reviewed by: Thierry Aubin
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: a:1021259000387
OpenAlex ID: W74961388
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description: scientific article; zbMATH DE number 1901462