A limit theorem for Dirichlet L-functions
Es sei \({\mathbb C}_{\infty}:={\mathbb C}\cup {\{\infty\}}\) die mit der chordalen Metrik versehene Riemannsche Sphäre. \({\mathbb C}(\mathbb R)\) sei der mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Mengen versehene Raum der stetigen Funktionen \(f:{\mathbb R} \to {\mathbb C}_{\infty}\). Es sei \(\gamma\) der Einheitskreis auf \(\mathbb C\) und \(\Omega = \prod _{p}\gamma_p\) mit \(\gamma_p=\gamma\) für alle Primzahlen \(p\). Mit der Projektion \(\omega(p)\) von \(\omega \in \Omega\) auf \(\gamma_p\) werde \(\omega(m)=\prod_{p{^\alpha}| | m}\omega {^\alpha}(p)\) gesetzt. Es sei \(\theta\) eine feste Zahl \(> {\sqrt 2 \over 2}\), und für \(T>3\) sei \(\kappa_T =(2^{-1}\log \log T)^{-1/2}\), \(\sigma_T ={1 \over 2} + \theta (\log \log T)^{3/2}(\log T)^{-1}\). \({\mathcal B}(S)\) sei die Klasse der Borelschen Mengen eines Raums \(S\), und \(meas\, M\) bezeichne das Lebesguesche Maß einer Lebesgue-me{ss}baren Menge \(M\). Der Verf. setzt für eine Dirichletsche L-Reihe \(L(s,\chi)\) die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung voraus und beweist mit einer explizit angegebenen Distribution \(P_\beta\) als Verallgemeinerung eines von \textit{A. Laurinčikas} bewiesenen Grenzwertsatzes über die Riemannsche Zetafunktion [Limit theorems for the Riemann zeta-function, Kluwer, Dordrecht (1996; Zbl 0845.11002)], da{ss} \[ \tfrac 1T \operatorname{meas} \{\tau \in [0,T] : L^{\kappa_T} (\sigma_T +it + i\tau,\chi) \in A\} \quad (A \in {\mathcal B}({\mathbb C}(\mathbb R)) \] schwach gegen \(P_\beta\) für \(T \to \infty\) konvergiert. Der Beweis von Lemma 2 sollte ausführlicher dargestellt werden.
scientific article; zbMATH DE number 2108237