Modularity in the lattice of \(\Sigma\)-permutable subgroups.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Modularity in the lattice of \(\Sigma\)-permutable subgroups.
zbMATH Open document ID: 1065.20032
author: Tom Kimber
published in: Archiv der Mathematik
publication date: 2004-11-05T00:00:00Z
review text: Sei \(\Sigma\) ein Sylowsystem der auflösbaren Gruppe \(G\). Bekanntlich ist die Menge \(P(\Sigma)\) aller mit den Gruppen aus \(\Sigma\) vertauschbaren Untergruppen von \(G\) ein Teilverband des Untergruppenverbandes von \(G\). Der Verf. nennt \(P(\Sigma)\) permutabel, wenn je zwei Untergruppen aus \(P(\Sigma)\) miteinander vertauschbar sind. Für jede Primzahl \(p\) liegen die \(p\)-Gruppen aus \(P(\Sigma)\) in der zu \(\Sigma\) gehörenden \(p\)-Sylowgruppe und bilden deshalb einen Teilverband \(P_p(\Sigma)\) von \(P(\Sigma)\). Daher vererben sich Eigenschaften wie Modularität und Permutabilität von \(P(\Sigma)\) auf \(P_p(\Sigma)\). Der Verf. zeigt, daß umgekehrt \(P(\Sigma)\) modular (bzw. permutabel) ist, wenn alle \(P_p(\Sigma)\) modular (bzw. permutabel) sind. Ferner zeigt er, daß ein solches \(P_p(\Sigma)\) genau dann permutabel ist, wenn es modular ist. Mit dem vorher erwähnten Resultat folgt daraus, daß \(P(\Sigma)\) dieselbe Eigenschaft hat.
reviewed by: Roland Schmidt
Mathematics Subject Classification ID: 20D20
Mathematics Subject Classification ID: 20D40
Mathematics Subject Classification ID: 20D10
Mathematics Subject Classification ID: 20D30
zbMATH DE Number: 2113838
zbMATH Keywords: Sylow systems
zbMATH Keywords: permutability
zbMATH Keywords: modularity
zbMATH Keywords: finite solvable groups
zbMATH Keywords: permutable subgroups
zbMATH Keywords: subgroup lattices
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s00013-004-4918-y
OpenAlex ID: W2002449072
DOI: 10.1007/S00013-004-4918-Y
description: scientific article; zbMATH DE number 2113838