Modularity in the lattice of \(\Sigma\)-permutable subgroups.
Sei \(\Sigma\) ein Sylowsystem der auflösbaren Gruppe \(G\). Bekanntlich ist die Menge \(P(\Sigma)\) aller mit den Gruppen aus \(\Sigma\) vertauschbaren Untergruppen von \(G\) ein Teilverband des Untergruppenverbandes von \(G\). Der Verf. nennt \(P(\Sigma)\) permutabel, wenn je zwei Untergruppen aus \(P(\Sigma)\) miteinander vertauschbar sind. Für jede Primzahl \(p\) liegen die \(p\)-Gruppen aus \(P(\Sigma)\) in der zu \(\Sigma\) gehörenden \(p\)-Sylowgruppe und bilden deshalb einen Teilverband \(P_p(\Sigma)\) von \(P(\Sigma)\). Daher vererben sich Eigenschaften wie Modularität und Permutabilität von \(P(\Sigma)\) auf \(P_p(\Sigma)\). Der Verf. zeigt, daß umgekehrt \(P(\Sigma)\) modular (bzw. permutabel) ist, wenn alle \(P_p(\Sigma)\) modular (bzw. permutabel) sind. Ferner zeigt er, daß ein solches \(P_p(\Sigma)\) genau dann permutabel ist, wenn es modular ist. Mit dem vorher erwähnten Resultat folgt daraus, daß \(P(\Sigma)\) dieselbe Eigenschaft hat.
scientific article; zbMATH DE number 2113838