\(L^ p\)-\(L^ q\) estimates for orbital measures and Radon transforms on compact Lie groups and Lie algebras
type: Item
instance of: scholarly article
title: \(L^ p\)-\(L^ q\) estimates for orbital measures and Radon transforms on compact Lie groups and Lie algebras
zbMATH Open document ID: 0843.43011
author: Fulvio Ricci
author: Giancarlo Travaglini
published in: Journal of Functional Analysis
publication date: 1995-07-17T00:00:00Z
review text: Sei \(G\) eine kompakte einfach zusammenhängende Lie-Gruppe und \({\mathfrak g}\) die zugehörige Lie-Algebra. Sei \(T\) ein maximaler Torus in \(G\) und \({\mathfrak t}\) die zugehörige Unteralgebra von \({\mathfrak g}\). Für ein reguläres Element \(H_0 \in {\mathfrak t}\) sei \(x_0 : = \text{Exp} H_0\) und \(\mu_{x_0}\) das kanonische Maß auf der Konjugationsklasse von \(x_0 \in G\). Die Autoren untersuchen, in wieweit die Faltung mit \(\mu_{x_0}\) einen beschränkten Operator von \(L^p (G)\) nach \(L^q (G)\) definiert, \(1 \leq p < q \leq \infty\). Die entsprechende Frage wird auch auf \({\mathfrak g}\) studiert, wobei \(\mu_{x_0}\) durch das kanonische Maß \(\gamma_{H_0}\) auf der adjungierten Bahn von \(H_0 \in {\mathfrak g}\) zu ersetzen ist. Fragen dieser Art wurden für verschiedene Typen von singulären Maßen (insbesondere für glatte Maße auf bestimmten Untermannigfaltigkeiten) schon mehrfach behandelt [siehe z.B. \textit{W. Littman}, Partial diff. Equ., Berkeley 1971, Proc. Sympos. pure Math. 23, 479-481 (1973; Zbl 0263.44006); \textit{D. M. Oberlin}, Colloq. Math. 47, 113-117 (1982; Zbl 0501.42007); \textit{F. Ricci} und \textit{E. M. Stein}, J. Funct. Anal. 86, 360-389 (1989; Zbl 0684.22006)]. Teilweise wurden die betreffenden Paare \((p,q)\) exakt bestimmt. Die Autoren beantworten nun die eingangs gestellte Frage vollständig für den Fall, daß \(G\) einfach ist. Der Beweis arbeitet mit einer komplexen Familie von Distributionen, unter denen sich das Maß \(\mu_{x_0}\) befindet, und benutzt eine komplexe Interpolationsmethode. Im zweiten Abschnitt der Arbeit definieren die Autoren, ausgehend von der adjungierten Darstellung, eine Radon-Transformation \(R\) auf der Lie-Algebra \({\mathfrak g}\); dabei ist die Radon-Transformierte einer Funktion \(f\) auf \({\mathfrak g}\) eine Funktion auf \(G/T \times {\mathfrak t}\). \((R\) kann interpretiert werden als Einschränkung der klassischen \(2m\)-dimensionalen Radon-Transformation auf ein reduziertes System \(2m\)-d…
Mathematics Subject Classification ID: 43A80
Mathematics Subject Classification ID: 22E30
Mathematics Subject Classification ID: 42B20
Mathematics Subject Classification ID: 44A12
zbMATH DE Number: 764021
zbMATH Keywords: simple connected Lie group
zbMATH Keywords: Lie algebra
zbMATH Keywords: torus operator
zbMATH Keywords: adjoint orbit
zbMATH Keywords: measure
zbMATH Keywords: Radon transform
reviewed by: Rainer Felix
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: jfan.1995.1045
OpenAlex ID: W2002641086
DOI: 10.1006/JFAN.1995.1045
description: scientific article; zbMATH DE number 764021