On a Plancherel formula for certain discrete, finitely generated, torsion-free nilpotent groups
type: Item
instance of: scholarly article
title: On a Plancherel formula for certain discrete, finitely generated, torsion-free nilpotent groups
zbMATH Open document ID: 0842.22011
author: Carolyn Pfeffer Johnston
published in: Pacific Journal of Mathematics
publication date: 1996-08-04T00:00:00Z
review text: Ansatzpunkt der Arbeit ist die von R. Howe in Anlehnung an die Kirillov-Methode entwickelte Darstellungstheorie diskreter endlich erzeugter torsionsfreier nilpotenter Gruppen \(\Gamma\) [siehe \textit{R. Howe}, ibid. 73, 281-306 (1977; Zbl 0387.22005)]. Die Hauptergebnisse der Arbeit sind eine Spurformel für faktorielle Darstellungen von \(\Gamma\), die durch generische Charaktere des Zentrums induziert sind, sowie eine Plancherel-Formel. Dabei wird vorausgesetzt, daß \(\Gamma\) im Sinne von [\textit{R. Howe}, op. cit.] ``elementar exponentiabel'' ist; i.e. es gilt \(\Gamma = \text{Exp } {\mathcal L}\) für ein Gitter \(\mathcal L\) in einer reellen endlich-dimensionalen nilpotenten Lie-Algebra der Nilpotenzklasse \(r\) mit der Eigenschaft \([{\mathcal L}, {\mathcal L}] \subseteq r!{\mathcal L}\). In einer früheren gemeinsamen Arbeit mit \textit{L. Corwin} [ibid. 162, 261-275 (1994; Zbl 0789.22014)] hatte die Autorin ein Kirillovsches Bahnen-Bild für faktorielle Darstellungen diskreter Gruppen \(G_Q\), die aus den rationalen Punkten einer nilpotenten Lie-Gruppe bestehen, entwickelt und eine Plancherel-Formel bewiesen. In der vorliegenden Arbeit wird nun gezeigt, daß die dortigen Techniken auch für \(\Gamma\) funktionieren. Das Schlüsselresultat dazu lautet: Ist \(\lambda\) ein (additiver) Charakter von \(\mathcal L\) und ist der Kern der Einschränkung \(\widetilde {\lambda}\) von \(\lambda\) auf das Zentrum \(z({\mathcal L})\) trivial (dies ist gerade die generische Situation), so ist der Abschluß der koadjungierten Bahn \(\text{Ad}^* (\Gamma)\lambda\) gleich \(\lambda + z({\mathcal L})^\perp\), wobei \(z({\mathcal L})^\perp\) der Annihilator von \(z({\mathcal L})\) im Pontrjagin-Dual von \(\mathcal L\) ist.
Mathematics Subject Classification ID: 22E40
Mathematics Subject Classification ID: 43A40
Mathematics Subject Classification ID: 43A65
Mathematics Subject Classification ID: 22D35
zbMATH DE Number: 769664
zbMATH Keywords: representation theory
zbMATH Keywords: Plancherel formula
zbMATH Keywords: trace formula
zbMATH Keywords: elementarily exponentiable
zbMATH Keywords: Lie algebra
zbMATH Keywords: additive character
zbMATH Keywords: nilpotent Lie group
zbMATH Keywords: coadjoint orbit
zbMATH Keywords: finitely generated torsion-free nilpotent group
reviewed by: Rainer Felix
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: pjm.1995.167.313
OpenAlex ID: W1988507094
DOI: 10.2140/PJM.1995.167.313
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description: scientific article; zbMATH DE number 769664