On a Plancherel formula for certain discrete, finitely generated, torsion-free nilpotent groups
Ansatzpunkt der Arbeit ist die von R. Howe in Anlehnung an die Kirillov-Methode entwickelte Darstellungstheorie diskreter endlich erzeugter torsionsfreier nilpotenter Gruppen \(\Gamma\) [siehe \textit{R. Howe}, ibid. 73, 281-306 (1977; Zbl 0387.22005)]. Die Hauptergebnisse der Arbeit sind eine Spurformel für faktorielle Darstellungen von \(\Gamma\), die durch generische Charaktere des Zentrums induziert sind, sowie eine Plancherel-Formel. Dabei wird vorausgesetzt, daß \(\Gamma\) im Sinne von [\textit{R. Howe}, op. cit.] ``elementar exponentiabel'' ist; i.e. es gilt \(\Gamma = \text{Exp } {\mathcal L}\) für ein Gitter \(\mathcal L\) in einer reellen endlich-dimensionalen nilpotenten Lie-Algebra der Nilpotenzklasse \(r\) mit der Eigenschaft \([{\mathcal L}, {\mathcal L}] \subseteq r!{\mathcal L}\). In einer früheren gemeinsamen Arbeit mit \textit{L. Corwin} [ibid. 162, 261-275 (1994; Zbl 0789.22014)] hatte die Autorin ein Kirillovsches Bahnen-Bild für faktorielle Darstellungen diskreter Gruppen \(G_Q\), die aus den rationalen Punkten einer nilpotenten Lie-Gruppe bestehen, entwickelt und eine Plancherel-Formel bewiesen. In der vorliegenden Arbeit wird nun gezeigt, daß die dortigen Techniken auch für \(\Gamma\) funktionieren. Das Schlüsselresultat dazu lautet: Ist \(\lambda\) ein (additiver) Charakter von \(\mathcal L\) und ist der Kern der Einschränkung \(\widetilde {\lambda}\) von \(\lambda\) auf das Zentrum \(z({\mathcal L})\) trivial (dies ist gerade die generische Situation), so ist der Abschluß der koadjungierten Bahn \(\text{Ad}^* (\Gamma)\lambda\) gleich \(\lambda + z({\mathcal L})^\perp\), wobei \(z({\mathcal L})^\perp\) der Annihilator von \(z({\mathcal L})\) im Pontrjagin-Dual von \(\mathcal L\) ist.
finitely generated torsion-free nilpotent group
scientific article; zbMATH DE number 769664