Auslander modules and quasi-homogeneity of local rings
Soit \(R,M,k\) un anneau local noethérien complet et normal de dimension 2. On suppose le corps \(k\) algébriquement clôs et de charactéristique zéro. Il y a un \(R\)-module \(A\) tel qu' il existe une suite exacte nonscindée de la forme \(0 \to K \to A \to M \to 0\), où \(K\) est le module canonique de \(R\). Let \(R\)-module \(A\) est uniquement déterminé sauf un isomorphisme et est appelé le module d'Auslander de \(R\). L'anneau \(R\) est appelé quasi-homogène s'il est le complété d'un anneau gradué, ce qui est équivalent à l'existence d'une \(k\)-dérivation \(D : R \to R\), telle que \(Dx_i = d_i x_i\), \(1 \leq i \leq n\), pour un systéme de générateurs \(x_1, \ldots, x_n\) de \(M\), où \(d_1, d_2, \ldots, d_n\) sont des nombres entiers positifs (dérivation d'Euler de \(R)\). \textit{A. Martsinkovky} [Trans. Am. Math. Soc. 319, No. 1, 285-307 (1990; Zbl 0715.13019)] a conjecturé que \(R\) est quasi-homogène si et seulement \(A \approx D_k (R)^{**}\), où \(D_k (R)\) est le module fini des différentielles de \(R\) sur \(k\) et \(D_k (R)^{**}\) est le biduale de \(D_k(R)\), c'est-à-dire le module des différentielles de Zariski de \(R\) sur \(k\). Les auteurs exposent une investigation homologique (complex de Koszul) pour resoudre cette conjecture si \(R\) est un anneau qui n'est pas régulier de la forme: \(kX,Y,Z/(f)\). S'obtient une nouvelle démonstration du résultat principal de Martsinkovsky (loc. cit.) et d'autres conditions sur \(f\) dans lesquelles la conjecture de Martsinkovsky est vraie.
scientific article; zbMATH DE number 777766
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