Connections between the real positive semidefinite and distance matrix completion problems
Eine reelle \(n \times n\)-Matrix \(D = (d_{i,j})\) heißt Distanz- Matrix, wenn es im \(\mathbb{R}^k\) \((k \leq n - 1)\) Punkte \(p_1, \ldots, p_n\) mit \(d_{i,j} = (p_i - p_j)^T(p_i - p_j)\) für \(i,j = 1,\ldots, n\) gibt. Eine Matrix \(A = (a_{i,j})\) wird partielle symmetrische Matrix genannt, wenn in ihr die Elemente \(a_{1,1}, \ldots, a_{n,n}\) und gewisse weitere Elemente symmetrisch mit reellen Zahlen besetzt sind, verbleibende symmetrisch positionierte Matrixelemente jedoch noch frei wählbar sind. Das Vervollständigungsproblem für Distanz-Matrizen besteht darin, ob bei einer gegebenen partiellen symmetrischen Matrix durch geeignete Spezifizierung der freien Elemente eine Distanz-Matrix gewonnen werden kann. Entsprechend wird das Vervollständigungsproblem für positiv semidefinite Matrizen erklärt. Beide Probleme sind eng verwandt, ohne jedoch direkt ineinander überführt werden zu können. Verff. zeigen aber, daß unter einschränkenden Bedingungen eine solche Überführung möglich ist und für konstruktive Zwecke genutzt werden kann.
scientific article; zbMATH DE number 778266