Sequences of integers and entire arithmetic functions
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sequences of integers and entire arithmetic functions
zbMATH Open document ID: 0829.11038
author: J.-P. Bézivin
published in: Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. Mathématiques. Série VI
publication date: 1996-01-22T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/73337
review text: Mit Hilfe der Entwicklung einer Funktion in eine geeignete Interpolationsreihe wird -- in Ergänzung zu einer Arbeit von A. O. Gelfond -- das folgende Problem untersucht: Es seien \(f\) eine ganze Funktion, \(q \in \mathbb{Z}\), \(|q |> 1\), \(A\) eine unendliche Teilmenge von \(\mathbb{N}\), und \(f(q^\alpha) \in \mathbb{Z}\) für alle \(\alpha \in A\). Man gebe Bedingungen für das Wachstum von \(f\) an, so daß sich schließen läßt, \(f\) ist ein Polynom. Zur Illustration der erhaltenen Ergebnisse sei der folgende Satz aus der Arbeit angegeben: Mit \(\Psi_A (x) : = \# \{a \in A \mid a \leq x\}\) gilt, Satz 4: Gibt es ein \(\alpha \in (0,1)\) und ein \(\beta > 0\), so daß \(\Psi_A (x) = \beta x^\alpha + o(x^\alpha)\) und gilt unter den obengenannten Voraussetzungen \[ \log |f |(R) \leq \delta {(\log R)^{2/(2 - \alpha)} \over (\log |q |)^{\alpha/(2 - \alpha)}} \] mit einem \(\delta < (1 - {\alpha \over 2}) ({\alpha \cdot \beta \over \varepsilon (A)})^{\alpha/(2- \alpha)}\) \((\varepsilon (A) = 2\) oder 1, je nachdem ob \(x + y = 2z\) unter der Bedingung \(y > z > x\) innerhalb von \(A\) lösbar ist oder nicht), so ist \(f\) ein Polynom. Der Beweis erfordert subtile Teilbarkeitsuntersuchungen bei Polynomen der Form \(Q_c (x) = \prod_{m \in \Omega (c,A)} (x^m - 1)^{\varepsilon (A)}\), \(\Omega (c,A) : = \{z \in \mathbb{N} \mid \exists a,b \in A\), \(c \geq b \geq a\), \(z = b - a\}\).
Mathematics Subject Classification ID: 11J99
Mathematics Subject Classification ID: 30D15
zbMATH DE Number: 778919
zbMATH Keywords: growth conditions
zbMATH Keywords: integral entire functions
zbMATH Keywords: polynomial
zbMATH Keywords: entire arithmetic functions
reviewed by: Rolf Wallisser
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2318393023
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DOI: 10.5802/AFST.782
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description: scientific article; zbMATH DE number 778919