Sequences of integers and entire arithmetic functions
Mit Hilfe der Entwicklung einer Funktion in eine geeignete Interpolationsreihe wird -- in Ergänzung zu einer Arbeit von A. O. Gelfond -- das folgende Problem untersucht: Es seien \(f\) eine ganze Funktion, \(q \in \mathbb{Z}\), \(|q |> 1\), \(A\) eine unendliche Teilmenge von \(\mathbb{N}\), und \(f(q^\alpha) \in \mathbb{Z}\) für alle \(\alpha \in A\). Man gebe Bedingungen für das Wachstum von \(f\) an, so daß sich schließen läßt, \(f\) ist ein Polynom. Zur Illustration der erhaltenen Ergebnisse sei der folgende Satz aus der Arbeit angegeben: Mit \(\Psi_A (x) : = \# \{a \in A \mid a \leq x\}\) gilt, Satz 4: Gibt es ein \(\alpha \in (0,1)\) und ein \(\beta > 0\), so daß \(\Psi_A (x) = \beta x^\alpha + o(x^\alpha)\) und gilt unter den obengenannten Voraussetzungen \[ \log |f |(R) \leq \delta {(\log R)^{2/(2 - \alpha)} \over (\log |q |)^{\alpha/(2 - \alpha)}} \] mit einem \(\delta < (1 - {\alpha \over 2}) ({\alpha \cdot \beta \over \varepsilon (A)})^{\alpha/(2- \alpha)}\) \((\varepsilon (A) = 2\) oder 1, je nachdem ob \(x + y = 2z\) unter der Bedingung \(y > z > x\) innerhalb von \(A\) lösbar ist oder nicht), so ist \(f\) ein Polynom. Der Beweis erfordert subtile Teilbarkeitsuntersuchungen bei Polynomen der Form \(Q_c (x) = \prod_{m \in \Omega (c,A)} (x^m - 1)^{\varepsilon (A)}\), \(\Omega (c,A) : = \{z \in \mathbb{N} \mid \exists a,b \in A\), \(c \geq b \geq a\), \(z = b - a\}\).
scientific article; zbMATH DE number 778919
scientific article