The nonlinear Klein-Gordon equation on an interval as a perturbed sine-Gordon equation
In dieser Arbeit untersucht man die nichtlineare Klein-Gordonsche Gleichung \[ u_{tt} = u_{xx} - mu + f(u),\;u = u(t,x),\;0 < x < \pi \tag{1} \] wobei \(m > 0\) und \(f\) eine analytische Funktion der Form \[ f(u) = \kappa u^3 + O \bigl( |u |^5 \bigr),\;\kappa \neq 0 \] darstellt. Mit der Gleichung (1) sind die Randbedingungen von Dirichlet und Neumann \[ \text (D) \quad u(t,0) \equiv u(t, \pi) \equiv 0 \qquad \text { (N)} \quad u_x (t,0) \equiv u_x (t, \pi) \equiv 0 \] gegeben. Das Hauptergebnis dieser Arbeit ist der folgende Satz: Für jeden invarianten Unterraum \(E^{2n}\) \[ E^{2n} = \text{span} \bigl\{ (\cos V^0_j x,0),\;(0, \cos V^0_j x) |j = 1, \dots, n \bigr\} \] existiert eine Untermenge \[ \widetilde E \subset E^{2n} \simeq R^N_+ \times T^n \text{ der Form } \widetilde E \simeq \widetilde M \times T^n, \] eine Lipschitz stetige Abbildung \(\widetilde \varphi : \widetilde E \simeq \widetilde M \times T^n \to Z\) die in \(q \in T^n\) analytisch ist, und eine Lipschitz stetige Abbildung \(\widetilde W \to R^n\) so daß gilt: I) Die Untermenge \(\widetilde E \subset E^{2n}\) besitzt den einzigen Häufungspunkt in Null. II) Die Kurven \(t \to \widetilde \varphi (\mu, D + t \widetilde W (\mu))\), \((\mu, D) \in \widetilde E\) stellen die quasiperiodischen Lösungen von \((1) + (N)\) dar. Alle Lyapunovschen Exponenten dieser Gleichung sind gleich Null. III) Die Menge \(\widetilde \tau^{2n} = \widetilde \varphi (\widetilde E)\) besitzt einen Tangentialraum in Null, der mit dem Raum \(E^{2n}\) koinzidiert.
scientific article; zbMATH DE number 791086