Polynomial convexity, rational convexity, and currents
type: Item
instance of: scholarly article
title: Polynomial convexity, rational convexity, and currents
zbMATH Open document ID: 0838.32006
DOI: 10.1215/S0012-7094-95-07912-5
author: Julien Duval
author: Nessim Sibony
published in: Duke Mathematical Journal
publication date: 1996-06-03T00:00:00Z
review text: Dans les énoncés suivants, extraits de l'article, \(X\) est toujours un compact de \(\mathbb{C}^k\), \(S\) une variété compacte totalement réelle dans \(\mathbb{C}^k\). (1) Soit \(\varphi\) une fonction p.s.h. sur un domain pseudoconvexe \(\Omega\), telle que \(\Omega \backslash \text{Supp} (dd^c \varphi)\) soit relativement compact dans \(\Omega\); alors, \(\forall s > 0\), le compact \(K_s = \{z \in \Omega : \text{dist} [z, \text{Supp} (dd^c \varphi)] \geq s\}\) est méromorphiquement convexe dans \(\Omega\), i.e. \(\Omega \backslash K_s\) réunion des ensembles de zéros des fonctions holomorphes sur \(\Omega\) qui ne s'annullent pas sur \(K_s\). (2) L'enveloppe rationnelle \(r(X)\), définie par \(\mathbb{C}^k \backslash r(X)\) réunion des ensembles de zéros des polynomes en \(z_1, \dots, z_k\) qui ne s'annullent pas sur \(X\), peut aussi être caractérisée comme suit à l'aide de supports de courants positifs fermés de bidegré (1,1): si le support d'un tel courant est disjoint à \(X\), il est aussi disjoint à \(r(X)\); réciproquement, \(\forall x \notin r(X)\) il existe une (1,1)-forme positive fermée, de classe \({\mathcal C}^\infty\), strictement positive en \(x\) et nulle sur un voisinage de \(r(X)\). (3) Si \(H^1 (X, \mathbb{Z}) = 0\) et si \(T\) est un courant positif, de bidegré \((k - 1, k - 1)\), à support compact: \(\text{Supp} (dT) \subset X\) entraîne \(\text{Supp} T \subset r (X)\). (4) \(S\) est rationnellement convexe, i.e. \(S = r(S)\), si et seulement s'il existe \(\varphi \in {\mathcal C}^\infty (\mathbb{C}^k) \), strictement p.s.h., telle que \(j^* dd^c \varphi = 0\) \((j\) étant l'injection \(S \to \mathbb{C}^k)\), résultat obtenu auparavant par le \(1^{\text{er}}\) auteur [Acta Math. 172, No. 1, 77-89 (1994; Zbl 0810.32008)] dans le cas \(\dim S = 2\). (5) \(x \in \widehat X\) si et seulement s'il existe un courant positif \(T\), be bidegré \((k - 1, k - 1)\), à support compact, tel que \(dd^c T = \mu - \delta_x\), où \(\mu\) est une mesure positi…
Mathematics Subject Classification ID: 32E20
Mathematics Subject Classification ID: 32C30
zbMATH DE Number: 815783
zbMATH Keywords: polynomial convexity
zbMATH Keywords: rational convexity
zbMATH Keywords: currents
reviewed by: Michel Hervé
MaRDI profile type: Publication
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full work available at URL: s0012-7094-95-07912-5
OpenAlex ID: W2039522066
description: scientific article; zbMATH DE number 815783