Integrated resolvent operators
Der Autor betrachtet die Integro-Differential-Gleichung \[ u'(t)=Au (t)+\int^t_0 B(t-s) u(s) ds+f(t), \quad t\in [ 0,T ], \quad u(0) =x. \tag{VE} \] Dabei ist \(A\) ein linearer abgeschlossener Operator mit (nicht notwendig dichtem) Definitionsbereich \(D(A)\) in einem Banachraum \(X\), der die Hille-Yoshida-Bedingung erfüllt. Es gibt reelle Konstanten \(M\) und \(\omega\), so daß \((\omega, \infty) \subset \rho (A)\) (die Resolventenmenge von \(A\)) und \(|(\lambda-A)|\leq M(\lambda-\omega)^{-n}\) für \(n=1, 2, \dots\) und \(\lambda> \omega\). \(\{B (t): t\geq 0\}\) ist eine Familie linearer Operatoren in \(X\) mit \(D(A) \subset D(B (t))\) für \(t\geq 0\) linearer beschränkter Operatoren von \(D(A)\) mit der Graphennorm nach \(X\), so daß die Funktion \(B(\cdot) x\) für \(x\in D(A)\) auf jedem Intervall \([ 0,T ]\) im starken Sinn von beschränkter Variation ist. Der Autor zeigt, daß es dann für (VE) ``a unique locally Lipschitz-continuous integrated resolvent operator \(\{ R(t): t\geq 0\}\)'' gibt, und daß dann (VE) für alle \(x\in X\) eine eindeutige ``Integral-Lösung'' und eine eindeutige ``schwache Lösung'' hat, Begriffe, die in der Arbeit definiert werden. Mit Hilfe dieser Ergebnisse wird für die beiden Cauchy-Probleme \[ u'(t)-Au(t)-Bu(t)=f(t), \quad t\in [0, T], \quad u(0)=x, \quad u'(t)=y \] und \[ u'(t)=A\Biggl( u(t)+\int^t_0 F(t-s) u(s) ds \Biggr)+Ku(t)+f(t), \quad t\in [0, T], \quad u(0)=x \] (unter weiteren Bedingungen an die auftretenden Größen) die Existenz klassischer Lösungen nachgewiesen.
scientific article; zbMATH DE number 826724
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