Integral geometry for tensor fields. Transl. from the Russian
[For a review of the original Russian edition see Zbl 0795.53070.] L'ouvrage s'intéresse pour l'essentiel à des questions liées à l'intégration des tenseurs symétriques sur les géodésiques d'une variété Riemannienne et plus particulièrement au suivant: si pour toutes les géodésiques \(\gamma\) d'un ouvert convexe on a \[ \int_\gamma k(\gamma'(t),\dots,\gamma'(t))dt\overset{\text{def}}=\widehat k(\gamma)= 0 \] est-ce que le tenseur symétrique \(k\) de degré \(p\), supposé nul au bord, est de la forme \(\text{sym }\nabla h\) c.a.d., est la dérivée covariante symétrisée d'un tenseur symétrique \(h\) de degré \((p-1)\)? Si \(p=0\), il s'agit de transformation de Radon pour les fonctions; si \(p=1\) on a une intégrale classique pour les 1-formes. D'autre part dans quelle mesure peut-on reconstituer \(k\) à partir de la donnée de \(\widehat k\) comme fonction sur l'espace des géodésiques? Une part importante de l'ouvrage est l'étude de ces problèmes dans l'espace euclidien \(\mathbb{R}^n\) (chapitre 2). Le chapitre 3 passe en revue des notions classiques d'analyse tensorielle sur une variété Riemannienne. Les concepts de dérivation horizontale et verticale sont explicités en coordonnées et permettent d'écrire des formules d'Ostrogradski adaptées. Dans le chapitre 4 qui concerne une variété Riemannienne est établie une réponse au problème de la surjectivité sous une hypothèse de courbure (automatiquement vérifiée en courbure négative). Une inégalité de Pestov, de type quadratique à la Bochner-Lichnerowicz, est utilisée concernant les champs semi-basiques ainsi qu'une inégalité analogue de type Poincaré. Une application de ce résultat est obenue pour le problème de l'unicité (à difféomorphisme près) d'une métrique donnée dans une boule, dont on connaît la longueur des géodésiques (fonction appelée ici l'hodographe). Les chapitres 5, 6 et 7 sont des variantes du problème d'intégration sur les géodésiques dont les motivations sont de nature physique. Des estimations à priori sont fournies et la technique des inégalités quadratiques est utilisée; des hypothèses de courbure interviennent naturellement. Le chapitre 8 concerne un problème d'inversion lié à la tomographie faisant intervenir l'absorbtion du milieu; cette fonction s'introduit sous forme exponentielle dans les intégrales: le résultat essentiel établit que l'opérateur est inversible sous conditions concernant la courbure et l'absortion. La technique utilise une dérivation horizontale tordue et une identité quadratique adaptée de ce concept. L'ouvrage est ainsi la réalisation d'une importante compilation et mise en forme, de résultats et de contributions -- dont celles de l'auteur -- aux problèmes de géométrie intégrale liés aux tenseurs symétriques et aux géodésiques. Ces questions ont été essentiellement initées par R. Michel en 1972-73-74: toutefois ces travaux ne sont pas évoqués dans les notes bibliographiques, lesquelles semblent généralement pauvres; de même le lecteur averti pourra être agacé par l'excès de concepts, classiques ou connus, rebaptisés par l'auteur. Ces remarques nécessaires n'enlèvent rien à l'utilité de l'ouvrage qui a suffisamment, en lui-même, de matière et d'originalité.
scientific article; zbMATH DE number 844036