Integral geometry for tensor fields. Transl. from the Russian
type: Item
instance of: scholarly article
title: Integral geometry for tensor fields. Transl. from the Russian
zbMATH Open document ID: 0883.53004
published in: Inverse and Ill-Posed Problems Series
publication date: 1996-02-13T00:00:00Z
review text: [For a review of the original Russian edition see Zbl 0795.53070.] L'ouvrage s'intéresse pour l'essentiel à des questions liées à l'intégration des tenseurs symétriques sur les géodésiques d'une variété Riemannienne et plus particulièrement au suivant: si pour toutes les géodésiques \(\gamma\) d'un ouvert convexe on a \[ \int_\gamma k(\gamma'(t),\dots,\gamma'(t))dt\overset{\text{def}}=\widehat k(\gamma)= 0 \] est-ce que le tenseur symétrique \(k\) de degré \(p\), supposé nul au bord, est de la forme \(\text{sym }\nabla h\) c.a.d., est la dérivée covariante symétrisée d'un tenseur symétrique \(h\) de degré \((p-1)\)? Si \(p=0\), il s'agit de transformation de Radon pour les fonctions; si \(p=1\) on a une intégrale classique pour les 1-formes. D'autre part dans quelle mesure peut-on reconstituer \(k\) à partir de la donnée de \(\widehat k\) comme fonction sur l'espace des géodésiques? Une part importante de l'ouvrage est l'étude de ces problèmes dans l'espace euclidien \(\mathbb{R}^n\) (chapitre 2). Le chapitre 3 passe en revue des notions classiques d'analyse tensorielle sur une variété Riemannienne. Les concepts de dérivation horizontale et verticale sont explicités en coordonnées et permettent d'écrire des formules d'Ostrogradski adaptées. Dans le chapitre 4 qui concerne une variété Riemannienne est établie une réponse au problème de la surjectivité sous une hypothèse de courbure (automatiquement vérifiée en courbure négative). Une inégalité de Pestov, de type quadratique à la Bochner-Lichnerowicz, est utilisée concernant les champs semi-basiques ainsi qu'une inégalité analogue de type Poincaré. Une application de ce résultat est obenue pour le problème de l'unicité (à difféomorphisme près) d'une métrique donnée dans une boule, dont on connaît la longueur des géodésiques (fonction appelée ici l'hodographe). Les chapitres 5, 6 et 7 sont des variantes du problème d'intégration sur les géodésiques dont les motivations sont de nature physique. Des estimations à priori …
Mathematics Subject Classification ID: 53-02
Mathematics Subject Classification ID: 53C65
zbMATH DE Number: 844036
zbMATH Keywords: integration of symmetric tensors
zbMATH Keywords: geodesics
zbMATH Keywords: Riemannian manifolds
author: Vladimir Sharafutdinov
reviewed by: René Michel
MaRDI profile type: Publication
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description: scientific article; zbMATH DE number 844036