Independent generators for congruence subgroups of Hecke groups
Die Hecke-Gruppe \(G_q\), \(q\geq 3\), ist erzeugt durch die linear gebrochenen Transformationen \(T: z\mapsto - {1\over z}\) und \(U: z\to z+ \lambda_q\), wobei \(z\in H=\{z\in \mathbb{C}\mid \text{Im } z> 0\}\) und \(\lambda_q= 2\cos {\pi\over q}\). \(G_q\) kann damit aufgefaßt werden als Untergruppe der \(\text{PSL}(2, \mathbb{R})\). In diesem Sinne ist \(G_q\) eine maximale diskrete Untergruppe der \(\text{PSL}(2, \mathbb{Z}[\lambda_q])\). Wie im Falle der klassischen Modulgruppe, der Fall \(q= 3\), lassen sich Kongruenzuntergruppen von \(G_q\) definieren. Sei \(I\) ein Ideal in \(\mathbb{Z}[\lambda_q]\). Dann ist \[ G(q, I)= \biggl\{\pm\biggl(\begin{smallmatrix} a\\ c \end{smallmatrix} \begin{smallmatrix} b\\ d\end{smallmatrix}\biggr)\in G_q\biggl|\pm \biggl(\begin{smallmatrix} a\\ c\end{smallmatrix} \begin{smallmatrix} b\\ d\end{smallmatrix}\biggr) \equiv \pm \biggl(\begin{smallmatrix} 1\\ 0\end{smallmatrix} \begin{smallmatrix} 0\\ 1\end{smallmatrix} \biggr)\text{ mod } I\biggr\} \] die zu \(I\) gehörende Hauptkongruenzuntergruppe. Eine Kongruenzuntergruppe von \(G_q\) ist eine Untergruppe von \(G_q\), die ein \(G(q, I)\) enthält. Für ungerade Primzahlen \(q\) werden unabhängige Erzeugende für die Kongruenzuntergruppen von \(G_q\) konstruiert. Die Beweise basieren auf der, von \textit{R. S. Kulkarni} [in: Group theory from a geometrical viewpoint; ICTP (Trieste), 645-686 (1990; Zbl 0840.20046)] für den Fall der Modulgruppe initiierten, Methode der speziellen Fundamentalpolygone und Farey-Symbole.
scientific article; zbMATH DE number 856582
scientific article