Independent generators for congruence subgroups of Hecke groups
type: Item
instance of: scholarly article
title: Independent generators for congruence subgroups of Hecke groups
zbMATH Open document ID: 0845.11017
DOI: 10.1007/BF02572632
author: Chong-Hai Lim
author: Mong Lung Lang
author: Ser Peow Tan
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1996-09-11T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/174827
review text: Die Hecke-Gruppe \(G_q\), \(q\geq 3\), ist erzeugt durch die linear gebrochenen Transformationen \(T: z\mapsto - {1\over z}\) und \(U: z\to z+ \lambda_q\), wobei \(z\in H=\{z\in \mathbb{C}\mid \text{Im } z> 0\}\) und \(\lambda_q= 2\cos {\pi\over q}\). \(G_q\) kann damit aufgefaßt werden als Untergruppe der \(\text{PSL}(2, \mathbb{R})\). In diesem Sinne ist \(G_q\) eine maximale diskrete Untergruppe der \(\text{PSL}(2, \mathbb{Z}[\lambda_q])\). Wie im Falle der klassischen Modulgruppe, der Fall \(q= 3\), lassen sich Kongruenzuntergruppen von \(G_q\) definieren. Sei \(I\) ein Ideal in \(\mathbb{Z}[\lambda_q]\). Dann ist \[ G(q, I)= \biggl\{\pm\biggl(\begin{smallmatrix} a\\ c \end{smallmatrix} \begin{smallmatrix} b\\ d\end{smallmatrix}\biggr)\in G_q\biggl|\pm \biggl(\begin{smallmatrix} a\\ c\end{smallmatrix} \begin{smallmatrix} b\\ d\end{smallmatrix}\biggr) \equiv \pm \biggl(\begin{smallmatrix} 1\\ 0\end{smallmatrix} \begin{smallmatrix} 0\\ 1\end{smallmatrix} \biggr)\text{ mod } I\biggr\} \] die zu \(I\) gehörende Hauptkongruenzuntergruppe. Eine Kongruenzuntergruppe von \(G_q\) ist eine Untergruppe von \(G_q\), die ein \(G(q, I)\) enthält. Für ungerade Primzahlen \(q\) werden unabhängige Erzeugende für die Kongruenzuntergruppen von \(G_q\) konstruiert. Die Beweise basieren auf der, von \textit{R. S. Kulkarni} [in: Group theory from a geometrical viewpoint; ICTP (Trieste), 645-686 (1990; Zbl 0840.20046)] für den Fall der Modulgruppe initiierten, Methode der speziellen Fundamentalpolygone und Farey-Symbole.
Mathematics Subject Classification ID: 11F06
Mathematics Subject Classification ID: 20H05
Mathematics Subject Classification ID: 20E06
zbMATH DE Number: 856582
zbMATH Keywords: independent generators
zbMATH Keywords: congruence subgroups of Hecke groups
zbMATH Keywords: fundamental polygons
zbMATH Keywords: Farey symbols
zbMATH Keywords: free products
reviewed by: Gerhard Rosenberger
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q3310101
cites work: SPECIAL POLYGONS FOR SUBGROUPS OF THE MODULAR GROUP AND APPLICATIONS
cites work: An Arithmetic-Geometric Method in the Study of the Subgroups of the Modular Group
cites work: Über die Heckeschen Gruppen \(G(\lambda)\). II
OpenAlex ID: W2032476609
Recommended article: Congruence subgroups of Hecke groups
Recommended article: Q3609148
Recommended article: Principal congruence subgroups of the Hecke groups and related results
Recommended article: Q3149430
Recommended article: Principal congruence subgroups of the Hecke groups
Recommended article: Q3828080
Recommended article: Q4204323
Recommended article: On the Hecke Algebra of a Noncongruence Subgroup
Recommended article: Q4318947
Recommended article: Congruence subgroups and generalized Frobenius-Schur indicators
description: scientific article; zbMATH DE number 856582