Non-combability of Hilbert modular groups
In der kombinatorischen Gruppentheorie hat man in der letzten Zeit einige wichtige Klassen endlich präsentierter unendlicher Gruppen definiert (mit noch nicht ganz einheitlicher Terminologie), so die von \textit{D. Epstein}, \textit{J. Cannon}, \textit{D. Holt}, \textit{S. Levy}, \textit{M. Paterson} und \textit{W. Thurston} [in ihrem Buch: Word processing in groups (Jones and Bartlett, Boston, MA, 1992; Zbl 0764.20017)]\ als ``combable'' bezeichneten Gruppen, in denen, wie sich herausstellt, das Wortproblem lösbar ist. Die Zugehörigkeit zu einer solchen Klasse hat unter Umständen geometrische Konsequenzen. Operiert eine ``combable'' Gruppe eigentlich diskontinuierlich mit kompaktem Quotientenraum auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, so gilt eine isoperimetrische Ungleichung. Für ein gewisses \(k\) und entsprechende Volumendefinitionen für die Zellen eines Zellenkomplexes gibt es ein \(c>0\), so daß man zu jedem \(k\)-Zyklus \(z\) eine \((k+1)\)-Kette \(u\) mit \(\partial u=z\) und \(\text{vol}_{k+1}(u)\leq\text{diam}(z)\text{vol}_k(z)\) finden kann. Verf. beweist, daß die Gruppe \(\text{SL}(n, {\mathfrak O})\) für die Hauptordnung \({\mathfrak O}\) eines total-reellen algebraischen Zahlkörpers vom Grad \(\ell\geq 2\) für \(n\geq 2\) nicht ``combable'' (im Sinne der Definition der obenerwähnten Autoren) ist, indem er ausnutzt, daß \(\text{SL}(n,{\mathfrak O})\) auf natürliche Weise auf einem Produkt von \(\ell\) Kopien von \(\text{SO}(n)\setminus\text{SL}(n,\mathbb{R})\) operiert. Da der Quotientenraum nicht kompakt ist, müssen die Spitzen zunächst durch Horosphären abgeschnitten werden. Dann wird eine Folge von Zyklen \(z_m\) definiert, für die \(\text{vol}(z_m)\) und \(\text{diam}(z_m)\) polynomial in \(m\) nach oben und \(\text{vol}(u_m)\) für alle \(u_m\) mit \(\partial u_m =z_m\) exponentiell nach unten beschränkt sind, so daß keine allgemeine isoperimetrische Ungleichung gelten kann.
scientific article; zbMATH DE number 856915
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