New aspects of transcendence
In \S 1 des vorliegenden Aufsatzes berichtet Verf. über drei Teilgebiete der Transzendenztheorie, die in den letzten Jahren eine besondere Weiterentwicklung erfahren haben. a) Transzendenz in Drinfeldmoduln als Fortentwicklung der Untersuchungen von L. J. Wade zu Beginn der 40er Jahre, wo erstmals die Transzendenz formaler Laurentreihen mit Koeffizienten aus dem endlichen Körper \(\mathbb{F}_q\) über dem Körper der rationalen Funktionen in einer Unbestimmten über \(\mathbb{F}_q\) untersucht wurde. Verf. hebt hier insbesondere die auf J. Yu bzw. A. Thiery zurückgehenden Analoga zum (qualitativen) Satz von A. Baker über Linearformen in Logarithmen algebraischer Zahlen bzw. zum Satz von Lindemann-Weierstraß hervor. b) Beseitigung des Schubfachprinzips (in Form eines Siegelschen Lemmas) aus Transzendenzbeweisen durch Verwendung einer Idee von M. Laurent, die stattdessen auf Alternanten bzw. Interpolationsdeterminanten zurückgreift. Als Anwendungen dieses neuen Prozedere werden die völlig expliziten und numerisch deutlich verbesserten unteren Abschätzungen für Linearformen in Logarithmen zweier algebraischer Zahlen erwähnt, die \textit{M. Laurent}, \textit{M. Mignotte} und \textit{Yu. V. Nesterenko} erzielt haben (vgl. nachstehendes Referat Zbl 0843.11036) sowie ein von S. David bewiesenes inhomogenes Analogon im elliptischen Fall. c) Die vom Verf. diskutierten Anwendungen der Mahlerschen Methode gruppieren sich um den Satz von P.-G. Becker über die Transzendenz von \(\Phi (\alpha)\) für algebraische \(\alpha\not\in M\), wo \(\Phi\) die von A. Douady und D. Hubbard konstruierte konforme Abbildung des Äußeren der Mandelbrot-Menge \(M\) auf das Äußere des Einheitskreises ist. In den \S\S 2,3 entwickelt Verf. sodann einen äußerst allgemein gehaltenen Axiomatisierungssatz, der die Transzendenzmethoden von Mahler, Gel'fond und Schneider gemeinsam umfaßt und zwar im ``klassichen'' archimedischen Fall, im \(p\)-adischen Fall und im Fall endlicher Charakteristik.
lower bounds for linear forms in logarithms
scientific article; zbMATH DE number 858025
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