New aspects of transcendence
type: Item
instance of: scholarly article
title: New aspects of transcendence
zbMATH Open document ID: 0843.11035
author: Patrice Philippon
published in: Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
publication date: 1996-03-24T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/223523
full work available at URL: jtnb7-1.html
review text: In \S 1 des vorliegenden Aufsatzes berichtet Verf. über drei Teilgebiete der Transzendenztheorie, die in den letzten Jahren eine besondere Weiterentwicklung erfahren haben. a) Transzendenz in Drinfeldmoduln als Fortentwicklung der Untersuchungen von L. J. Wade zu Beginn der 40er Jahre, wo erstmals die Transzendenz formaler Laurentreihen mit Koeffizienten aus dem endlichen Körper \(\mathbb{F}_q\) über dem Körper der rationalen Funktionen in einer Unbestimmten über \(\mathbb{F}_q\) untersucht wurde. Verf. hebt hier insbesondere die auf J. Yu bzw. A. Thiery zurückgehenden Analoga zum (qualitativen) Satz von A. Baker über Linearformen in Logarithmen algebraischer Zahlen bzw. zum Satz von Lindemann-Weierstraß hervor. b) Beseitigung des Schubfachprinzips (in Form eines Siegelschen Lemmas) aus Transzendenzbeweisen durch Verwendung einer Idee von M. Laurent, die stattdessen auf Alternanten bzw. Interpolationsdeterminanten zurückgreift. Als Anwendungen dieses neuen Prozedere werden die völlig expliziten und numerisch deutlich verbesserten unteren Abschätzungen für Linearformen in Logarithmen zweier algebraischer Zahlen erwähnt, die \textit{M. Laurent}, \textit{M. Mignotte} und \textit{Yu. V. Nesterenko} erzielt haben (vgl. nachstehendes Referat Zbl 0843.11036) sowie ein von S. David bewiesenes inhomogenes Analogon im elliptischen Fall. c) Die vom Verf. diskutierten Anwendungen der Mahlerschen Methode gruppieren sich um den Satz von P.-G. Becker über die Transzendenz von \(\Phi (\alpha)\) für algebraische \(\alpha\not\in M\), wo \(\Phi\) die von A. Douady und D. Hubbard konstruierte konforme Abbildung des Äußeren der Mandelbrot-Menge \(M\) auf das Äußere des Einheitskreises ist. In den \S\S 2,3 entwickelt Verf. sodann einen äußerst allgemein gehaltenen Axiomatisierungssatz, der die Transzendenzmethoden von Mahler, Gel'fond und Schneider gemeinsam umfaßt und zwar im ``klassichen'' archimedischen Fall, im \(p\)-adischen Fall und im Fall endlicher Charakteristik.
reviewed by: Peter Bundschuh
Mathematics Subject Classification ID: 11J81
Mathematics Subject Classification ID: 11J85
Mathematics Subject Classification ID: 11J86
zbMATH DE Number: 858025
zbMATH Keywords: transcendence theory
zbMATH Keywords: Drinfeld modules
zbMATH Keywords: lower bounds for linear forms in logarithms
zbMATH Keywords: pigeon hole principle
zbMATH Keywords: interpolation determinants
zbMATH Keywords: Mahler's method
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2328503262
cites work: Quantitative results on algebraic independence for algebraic groups
cites work: Algebraic independence of the values of certain functions at a transcendental number
cites work: Effective measures for algebraic independence of the values of Mahler type functions
cites work: Transcendence of the values of functions satisfying generalized Mahler type functional equations.
cites work: Q3864596
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cites work: Transcendence and Drinfeld modules
cites work: Q3134966
cites work: Q3211401
DOI: 10.5802/JTNB.141
description: scientific article; zbMATH DE number 858025