Galois structure and elliptic curves
type: Item
instance of: scholarly article
title: Galois structure and elliptic curves
zbMATH Open document ID: 0852.11066
published in: Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
publication date: 1996-03-24T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/232661
full work available at URL: jtnb7-1.html
review text: Les auteurs étudient la structure galoisienne des anneaux d'entiers des extensions \(N\) d'un corps de nombres \(K\) qui sont engendrées par les points de division rationnels sur \(K\) d'une courbe elliptique définie sur le corps \(K\). Dans une première partie algébrique, ils rappellent la définition de l'invariant de Picard d'un espace homogène principal pour un ordre de Hopf, ce qui leur permet de traduire en termes géométriques les problèmes de structure galoisienne, et s'intéressent ensuite dans une seconde partie de nature arithmétique au cas des ordres de Hopf provenant des schémas en groupes associés aux courbes elliptiques. Pour les points d'ordre fini, les résultats de \textit{A. Srivastav} et \textit{M. J. Taylor} [Invent. Math. 99, 165-184 (1990; Zbl 0705.14031)] et de \textit{K. Bouklou} [Arithmétique d'espaces homogènes principaux associés à une courbe elliptique, Thèse Bordeaux (1996)] montrent que l'invariant de Picard est généralement trivial. Pour le points d'ordre infini à invariant de Picard trivial, la théorie d'Iwasawa permet de montrer que les classes des espaces homogènes principaux libres sur l'ordre maximal proviennent du sous-groupe de Greenberg du groupe de Mordell-Weil complété. Les auteurs présentent alors leur résultat obtenu dans un travail sur la détermination de générateurs explicites de ces modules libres [Ann. Inst. Fourier 44, 631-661 (1994; Zbl 0810.11039)] et mettent plus particulièrement l'accent sur le rôle déterminant de la fonction \(L\) \(p\)-adique de la courbe et des unités elliptiques dans cette construction.
reviewed by: Jean-François Jaulent
Mathematics Subject Classification ID: 11R33
Mathematics Subject Classification ID: 11G05
Mathematics Subject Classification ID: 14L15
zbMATH DE Number: 858029
zbMATH Keywords: Galois structure
zbMATH Keywords: elliptic curves
zbMATH Keywords: Hopf orders
zbMATH Keywords: principal homogeneous space
zbMATH Keywords: explicit determination of generators
zbMATH Keywords: group schemes
zbMATH Keywords: \(p\)-adic \(L\)-function of an elliptic curve
zbMATH Keywords: elliptic units
zbMATH Keywords: Picard invariant
author: Philippe Cassou-Noguès
author: Martin J. Taylor
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W1970836930
cites work: Class invariants of Mordell-Weil groups.
cites work: Q4012330
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cites work: Galois Module Structure of Rings of Integers in Kummer Extensions
cites work: Principal Homogeneous Spaces and Group Scheme Extensions
DOI: 10.5802/JTNB.145
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description: scientific article; zbMATH DE number 858029