Galois structure and elliptic curves
Les auteurs étudient la structure galoisienne des anneaux d'entiers des extensions \(N\) d'un corps de nombres \(K\) qui sont engendrées par les points de division rationnels sur \(K\) d'une courbe elliptique définie sur le corps \(K\). Dans une première partie algébrique, ils rappellent la définition de l'invariant de Picard d'un espace homogène principal pour un ordre de Hopf, ce qui leur permet de traduire en termes géométriques les problèmes de structure galoisienne, et s'intéressent ensuite dans une seconde partie de nature arithmétique au cas des ordres de Hopf provenant des schémas en groupes associés aux courbes elliptiques. Pour les points d'ordre fini, les résultats de \textit{A. Srivastav} et \textit{M. J. Taylor} [Invent. Math. 99, 165-184 (1990; Zbl 0705.14031)] et de \textit{K. Bouklou} [Arithmétique d'espaces homogènes principaux associés à une courbe elliptique, Thèse Bordeaux (1996)] montrent que l'invariant de Picard est généralement trivial. Pour le points d'ordre infini à invariant de Picard trivial, la théorie d'Iwasawa permet de montrer que les classes des espaces homogènes principaux libres sur l'ordre maximal proviennent du sous-groupe de Greenberg du groupe de Mordell-Weil complété. Les auteurs présentent alors leur résultat obtenu dans un travail sur la détermination de générateurs explicites de ces modules libres [Ann. Inst. Fourier 44, 631-661 (1994; Zbl 0810.11039)] et mettent plus particulièrement l'accent sur le rôle déterminant de la fonction \(L\) \(p\)-adique de la courbe et des unités elliptiques dans cette construction.
\(p\)-adic \(L\)-function of an elliptic curve
scientific article; zbMATH DE number 858029
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