Hyperbolicity of the complement of a generic smooth curve of high degree in the complex projective plane
type: Item
instance of: scholarly article
title: Hyperbolicity of the complement of a generic smooth curve of high degree in the complex projective plane
zbMATH Open document ID: 0856.32017
author: Yum-Tong Siu
author: Sai-Kee Yeung
published in: Inventiones Mathematicae
publication date: 1996-09-04T00:00:00Z
review text: Die vorliegende Arbeit stellt den bislang größten Fortschritt in Richtung auf die folgende Vermutung dar: Sei \(k \in \mathbb{N}\) und \(C\) eine generische algebraische Kurve des \(\mathbb{P}_2\) mit \(k\) irreduziblen Komponenten und vom Grad \(\geq 5\); dann ist jede holomorphe Funktion \(\varphi : \mathbb{C} \to \mathbb{P}_2 - C\) konstant. Durch Arbeiten von Green, Grauert, Dethloff-Schumacher-Wong ist die Vermutung in einer Reihe von speziellen Fällen bestätigt; hier wird nun der (merkwürdigerweise schwierigste) Fall behandelt, daß \(C\) glatt und irreduzibel ist -- also mit \(k = 1\)-, allerdings für sehr hohen Grad. Trotz aller technischen Schwierigkeit ist der umfangreiche Beweis klar strukturiert und durchsichtig aufgeschrieben. Unter der Annahme der Existenz einer nichtkonstanten holomorphen Abbildung \(\varphi\) wird diese in eine Überlagerung von \(\mathbb{P}_2\) geliftet, die in \(C\) verzweigt ist. Über eine aufwendige Konstruktion von zwei zugehörigen linear unabhängigen 2-Jet-Differentialen und einigen Verallgemeinerungen des Schwartzschen Lemmas zeigen die Autoren, daß \(\varphi\) algebraisch entartet, d.h. daß das Bild in einer algebraischen Kurve liegt. Diese Kurve schneidet generische \(C\) in mehr als zwei Punkten. Wenn \(\varphi\) nicht konstant ist, muß die Bildkurve das Geschlecht 0 haben, womit der Beweis letztlich auf den Picardschen Satz zurückgeführt ist.
Mathematics Subject Classification ID: 32H25
Mathematics Subject Classification ID: 32Q45
zbMATH DE Number: 866103
zbMATH Keywords: Picard theorem
zbMATH Keywords: generic smooth curve
zbMATH Keywords: complex projective curve
reviewed by: Jürgen Wolfart
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s002220050064
OpenAlex ID: W2014087443
DOI: 10.1007/S002220050064
description: scientific article; zbMATH DE number 866103