Best constants in the Sobolev imbedding theorem
Soit \((V_n, g)\) une variété Riemannienne compacte de dimension \(n> 2\) (ou plus généralement complète avec des hypothèses supplémentaires). Pour tout \(\varepsilon> 0\), il existe \(A(\varepsilon)\) tel que tout \(\varphi\in H_1(V)\) vérifie \[ |\varphi|^2_N\leq (K+ \varepsilon) |\nabla \varphi|^2_2+ A(\varepsilon) |\varphi|^2_2\tag{1} \] avec \(N= 2n/(n- 2)\) et \(K^{- 1}= n(n- 2) \omega^{2/n}_n/4\), \(\omega_n\) l'aire de la sphère \(S_n(1)\). Ce théorème d'Aubin (1976) était accompagné de la conjecture: ``la meilleure constante \(K\) est atteinte''. Autrement dit on peut faire \(\varepsilon= 0\) dans (1), \(A(0)\) existe. \(K\) est la meilleure constante pour l'inclusion \(H_1\subset L_N\); des fonctions \(\varphi\) violent (1) avec \(\varepsilon< 0\). En utilisant l'inégalité isopérimétrique Aubin prouvait la conjecture pour les variété à courbure constante, puis les auteurs pour les variétés localement conformément plates en utilisant un argument similaire. Dans cet article la conjecture est démontrée en toute généralité en utilisant les développements récents des techniques de points de concentration et du blow-up. Tout d'abord la démonstration est ramenée à la preuve du résultat suivant: ``Soient \(B\subset \mathbb{R}^n\) la boule unité fermée et \(g\) une métrique Riemannienne \(C^\infty\) sur un voisinage de \(B\) telle que \(B\) est convexe pour \(g\). Alors il existe une constante \(C\) telle que tout \(\varphi\in \mathring H_1(B)\) vérifie \[ |\varphi|^2_N\leq K|\nabla \varphi|^2_2+ C |\varphi|^2_2.\tag{2} \] La preuve se fait par l'absurde. Pour tout \(\alpha\geq 1\) on suppose qu'il existe \(u_\alpha\in \mathring H_1(B)\) tel que \(|u_\alpha|^2_N> K(|\nabla u_\alpha|^2_2+ \alpha|u_\alpha|^2_2)\). Alors \(\lambda_\alpha= \inf_{u\in \mathring H_1(B)} [|\nabla u|^2_2+ \alpha|u|^2_2]|u|^{- 2}_N< K^{- 1}\) d'où le minimum est atteint et il existe \(\varphi_\alpha\in \mathring H_1(B)\) avec \(|\varphi_\alpha |_N= 1\) vérifiant \[ \Delta\varphi_\alpha+ \alpha \varphi_\alpha = \lambda_\alpha \varphi^{N- 1}_\alpha\tag{3} \] et \(\varphi_\alpha> 0\) dans \(B\). Les auteurs montrent que \(|\varphi_\alpha|_2\to 0\) quand \(\alpha\to \infty\) d'où, \(\exists q_i\to \infty\) tel que \(\varphi_{q_i}\to 0\) p.p. Il y a donc un point de concentration puisque \(|\varphi_\alpha|_N= 1\) et il n'y en a qu'un seul car \(\lambda_\alpha< K^{- 1}\). Par la technique du blow-up, les auteurs arrivent à une contradiction: pour \(i\) grand, \(|\varphi_i|_2\geq \eta\) pour un réel \(\eta> 0\). D'où \(\varphi_i\) ne peut pas exister pour \(i\) grand. Depuis les auteurs ont étendu leur résultat aux variété complètes [Duke Math. J. 79, No. 1, 235-279 (1995; Zbl 0839.53030)].
scientific article; zbMATH DE number 873774
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