Best constants in the Sobolev imbedding theorem
type: Item
instance of: scholarly article
title: Best constants in the Sobolev imbedding theorem
zbMATH Open document ID: 0849.53035
DOI: 10.1016/S0294-1449(16)30097-X
author: Emmanuel Hebey
author: Michel Vaugon
published in: Annales de l'Institut Henri Poincaré. Analyse Non Linéaire
publication date: 1996-11-10T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/78376
review text: Soit \((V_n, g)\) une variété Riemannienne compacte de dimension \(n> 2\) (ou plus généralement complète avec des hypothèses supplémentaires). Pour tout \(\varepsilon> 0\), il existe \(A(\varepsilon)\) tel que tout \(\varphi\in H_1(V)\) vérifie \[ |\varphi|^2_N\leq (K+ \varepsilon) |\nabla \varphi|^2_2+ A(\varepsilon) |\varphi|^2_2\tag{1} \] avec \(N= 2n/(n- 2)\) et \(K^{- 1}= n(n- 2) \omega^{2/n}_n/4\), \(\omega_n\) l'aire de la sphère \(S_n(1)\). Ce théorème d'Aubin (1976) était accompagné de la conjecture: ``la meilleure constante \(K\) est atteinte''. Autrement dit on peut faire \(\varepsilon= 0\) dans (1), \(A(0)\) existe. \(K\) est la meilleure constante pour l'inclusion \(H_1\subset L_N\); des fonctions \(\varphi\) violent (1) avec \(\varepsilon< 0\). En utilisant l'inégalité isopérimétrique Aubin prouvait la conjecture pour les variété à courbure constante, puis les auteurs pour les variétés localement conformément plates en utilisant un argument similaire. Dans cet article la conjecture est démontrée en toute généralité en utilisant les développements récents des techniques de points de concentration et du blow-up. Tout d'abord la démonstration est ramenée à la preuve du résultat suivant: ``Soient \(B\subset \mathbb{R}^n\) la boule unité fermée et \(g\) une métrique Riemannienne \(C^\infty\) sur un voisinage de \(B\) telle que \(B\) est convexe pour \(g\). Alors il existe une constante \(C\) telle que tout \(\varphi\in \mathring H_1(B)\) vérifie \[ |\varphi|^2_N\leq K|\nabla \varphi|^2_2+ C |\varphi|^2_2.\tag{2} \] La preuve se fait par l'absurde. Pour tout \(\alpha\geq 1\) on suppose qu'il existe \(u_\alpha\in \mathring H_1(B)\) tel que \(|u_\alpha|^2_N> K(|\nabla u_\alpha|^2_2+ \alpha|u_\alpha|^2_2)\). Alors \(\lambda_\alpha= \inf_{u\in \mathring H_1(B)} [|\nabla u|^2_2+ \alpha|u|^2_2]|u|^{- 2}_N< K^{- 1}\) d'où le minimum est atteint et il existe \(\varphi_\alpha\in \mathring H_1(B)\) avec \(|\varphi_\alpha |_N= 1\) vérifiant \[ \Delta\varphi_\alpha+ \al…
Mathematics Subject Classification ID: 53C21
zbMATH DE Number: 873774
zbMATH Keywords: best constants
zbMATH Keywords: Sobolev imbedding theorem
zbMATH Keywords: locally conformally flat manifolds
zbMATH Keywords: points of concentration
zbMATH Keywords: blow-up
reviewed by: Thierry Aubin
MaRDI profile type: Publication
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description: scientific article; zbMATH DE number 873774