The Campbell-Hausdorff theorem for elliptic operators and a related trace formula
Si \({\mathcal B}\) est une algèbre de Banach et \(A,B\in{\mathcal B}\) sont tels que les normes de \(A\)-\(I\) et \(B\)-\(I\) sont assez petites, on a la formule de Campbell-Hausdorff: \[ \log(AB)= \sum_{1\leq k} C^{(k)}(\log A, \log B). \] Le but de ce papier est de prouver un résultat analogue pour des opérateurs \(A\), \(B\) pseudo-différentiels elliptiques sur un fibré vectoriel \(E\) au dessus une variété compacte \(M\). On suppose \(A\) et \(B\) d'ordres \(\geq 0\), aux symboles principaux scalaires et satisfaisant certaines hypothèses techniques, telles que \(\log A\), \(\log B\) soient bien définis en tant qu'opérateurs pseudo-différentiels. Alors pour tout \(k> 1\), \(C^{(k)}(\log A, \log B)\) est un opérateur pseudo-différentiel d'ordre \(1- k\). Le théorème principal affirme que pour tout \(m\geq 1\), \[ \log(AB)- \sum_{1\leq k\leq m} C^{(k)}(\log A, \log B) \] est un opérateur pseudo-différentiel d'ordre \(-m\). De plus, la trace de cet opérateur est égale à zéro si \(m\leq n+ 1\), \(n= \dim M\).
scientific article; zbMATH DE number 878412