Ringed spaces of valuation rings over Hilbert rings
Soit \((X, {\mathcal O}_X)\) un espace annelé, on lui associe l'espace annelé \((W, {\mathcal O}_W)\) où \(W\) est l'ensemble des points fermés de \(X\) et \({\mathcal O}_W\) la restriction de \({\mathcal O}_X\) à \(W\). Réciproquement, à un espace annelé \((W, {\mathcal O}_W)\) on associe l'espace annelé \(t(W, {\mathcal O}_W)\) de ses ensembles irréductibles fermés et l'auteur veut caractériser les espaces \((X, {\mathcal O}_X)\) tels qu'il existe un isomorphisme d'espaces annelés entre \(t(X, {\mathcal O}_X)\) et \((X, {\mathcal O}_X)\). Dans le même ordre d'idée l'auteur considère le morphisme \(\pi_W: W\to \text{Spec} ({\mathcal O}_W (W))\) qui à un point de \(W\) associe l'idéal des sections de \({\mathcal O}_W (W)\) s'annulant en ce point et il veut caractériser les espaces \((W, {\mathcal O}_W)\) satisfaisant: (*) \(\overline {\pi_W (\pi^{-1}_W(F))} =F\) pour tout fermé \(F\) de \(\text{Spec} ({\mathcal O}_W (W))\). Lorsque \(X= \text{Spec} A\) ou si \(X\) est l'espace \(Z(K|A)\) des sous-anneaux de valuation d'un corps \(K\) contenant le sous-anneau \(A\) de \(K\), l'auteur montre que \(t(X, {\mathcal O}_X) \simeq (X, {\mathcal O}_X)\) si et seulement si \((W, {\mathcal O}_W)\) satisfait (*) si et seulement si \(A\) est un anneau de Hilbert (ou Jacobson). Lorsque \(X\) est l'espace \(\text{Loc} (K|A)\) des sous-anneaux locaux d'un corps \(K\) contenant un sous-anneau \(A\) de \(K\), l'auteur montre que \(t(X, {\mathcal O}_X) \simeq (X, {\mathcal O}_X)\) si et seulement si \(A\) est un anneau de Prüfer-Hilbert de corps des fractions égal à \(K\) et si \((W, {\mathcal O}_W)\) est irréductible il satisfait (*) si et seulement si \(A\) est un anneau de Hilbert. Enfin, l'auteur donne une conséquence de ces résultats en termes d'équivalence de catégories.
scientific article; zbMATH DE number 880007