Multiplicity for a problem of prescribed scalar curvature
Cet article traite du problème de la courbure scalaire prescrite sur une variété Riemannienne compact \((V_n,g)\), \(n\geq 3\), dans le cas négatif. Sans nuire à la généralité, on peut supposer que la courbure scalaire \(R\) est constante et négative. Soit \(f\) la fonction candidate qui est supposée changer de signe. Dans un précédent article, l'Auteur a démontré qu'il existe une constante \(C>0\) qui ne dépend que de \(f^-/\int f^-\) telle que si \(f \in C^\infty\) vérifie (1) \(|R |<4(n-1) \lambda/(n-2)\), (2) \(\sup f^+/ \int |f^-|< C\), alors \(f\) est la courbure scalaire d'une métrique conforme à \(g\). Ici \(f^+=\sup(f,0)\), \(f^-= \inf (f,0)\) et \(\lambda = \inf [\int |\nabla u |^2/ \int u^2]\) pour tout \(u\in {\mathcal D} (K)\), \(u \not \equiv 0\), avec \(K = \{x \in V:f(x) \geq 0\}\). Dans cet article l'Auteur met en évidence des conditions pour que le problème ait plus d'une solution. C'est le cas si les conditions (1) et (2) sont satisfaites et si de plus, en un point \(P\) où \(f\) est maximale, \(\Delta f(P)=0\) lorsque \(6 \leq n<10\) ou lorsque \(n\geq 10\) si \(\Delta f(P)=0\), \(\Delta \Delta(P)=0\) et si le tenseur de Weyl est non nul en \(P\). L'Auteur avait montré que, sous les hypothèses (1) et (2), l'équation sous-critique correspondante \(\Delta u+ \widetilde R u=fu^{q-1}\), avec \(\widetilde R=(n-2) R/4 (n-1)\) et \(q<N=2n/(n-2)\), avait deux solutions positives distinctes. Lorsque \(q\to N\) il s'agit de prouver par l'absurde que les deux solutions ne se confondent pas, por mettre en évidence deux solutions positives distinctes de l'équation à résoudre \(\Delta u+\widetilde Ru=fu^{N-1}\). Ce résultat est obtenu grâce à des développements limités et l'usage de fonctions test.
scientific article; zbMATH DE number 889861
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