The cuspidal class number formula for the modular curves \(X_ 1(3^ m)\)
Die Spitzenklassenzahl einer Modulfläche ist die (endliche) Ordnung von \(D_0/ \text{div}(F)\), wobei \(D_0\) die Gruppe der Divisoren mit Grad 0 und Träger in den Spitzen bezeichnet und \(\text{div}(F)\) die Gruppe der Divisoren der ``modularen Einheiten'', also der Hauptdivisoren mit Träger in den Spitzen. Techniken, die der Autor bereits in früheren Arbeiten entwickelt hat [J. Algebra 158, 515-549 (1993; Zbl 0811.11045)], werden in den vorliegenden beiden Arbeiten auf die Modulflächen \(X_1(3^m)\) und \(X_0(M)\), \(M\) quadratfrei, angewandt. Die Ergebnisse beruhen in beiden Fällen auf einer expliziten Beschreibung der Gruppe der modularen Einheiten; im ersten Fall genügen als Erzeugende hierzu Siegel-Funktionen -- mit sorgfältig zu wählenden Exponenten -- und im zweiten Fall müssen Funktionen mit zu den Erzeugenden genommen werden, die mit Hilfe der Dedekindschen Eta-Funktion konstruiert werden. Eine Nullstellen- und Polbetrachtung reduziert die Klassenzahlberechnung dann auf ein rein algebraisches Problem im Gruppenring einer endlichen abelschen Gruppe. Besonders interessant ist hier das Auftreten eines Ideals analog zum Stickelberger-Ideal bei Kreisteilungskörpern.
scientific article; zbMATH DE number 894104