Quadratic relations between logarithms of algebraic numbers
Bisher ist die Vierexponenten-Vermutung lediglich in folgendem Spezialfall von \textit{W. D. Brownawell} [J. Number Theory 6, 22-31 (1974; Zbl 0275.10020)] bzw. \textit{M. Waldschmidt} [J. Number Theory 5, 191-202 (1973; Zbl 0262.10021)] bewiesen worden: Seien \(x_1, x_2\) komplexe, über \(\mathbb{Q}\) linear unabhängige Zahlen und \(y_1,y_2\) ebenso; der Transzendenzgrad von \(\mathbb{Q}(x_1, x_2,y_1, y_2)\) über \(\mathbb{Q}\) sei 1. Dann ist mindestens eine der vier Zahlen \(\exp(x_j y_k)\) transzendent. Hierfür skizzieren Verff. einen neuen Beweis, der sich nicht mehr wie die früheren Ansätze auf Gelfonds Transzendenzkriterium stützt. Stattdessen verwenden Verff. um die von \textit{M. Laurent} [Astérisque 198/200, 209-230 (1991; Zbl 0762.11027)] eingeführten Interpolationsdeterminanten kombiniert mit einem Resultat von \textit{E. Wirsing} [J. Reine Angew. Math. 206, 67-77 (1961; Zbl 0097.03503)] über die Approximierbarkeit transzendenter Zahlen durch algebraische von beschränktem Grad. Schließlich wird ein Spezialfall einer Nullstellenabschätzung von \textit{P. Philippon} [Bull. Soc. Math. Fr. 114, 355-383 (1986; Zbl 0617.14001) bzw. 115, 397-398 (1987; Zbl 0634.14001)] herangezogen. Ohne Beweis kündigen die Verfasser folgende Verallgemeinerung des obigen Brownawell-Waldschmidtschen Satzes an: Sei \(V\subset\mathbb{C}^n\) die Nullstellenmenge eines nicht konstanten Polynoms \(P\in\mathbb{Q}[X_1,\dots,X_n]\) eines Grades \(\leq 2\) und sei \((\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in V \cap L^n\), wo \(L:= \{z\in \mathbb{C} \mid e^z\in \overline\mathbb{Q}\}\) gesetzt ist. Der Transzendenzgrad von \(\mathbb{Q} (\lambda_1, \dots, \lambda_n)\) über \(\mathbb{Q}\) sei 1. Dann liegt \((\lambda_1, \dots, \lambda_n)\) in einem über \(\mathbb{Q}\) definierten Teilraum von \(\mathbb{C}^n\), der seinerseits in \(V\) enthalten ist. (Nimmt man hier \(n=4\) und \(P=X_1X_4-X_2 X_3\), so erhält man gerade den oben zitierten Satz).
scientific article; zbMATH DE number 897674
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