Convexity of rational curves and total positivity
type: Item
instance of: scholarly article
title: Convexity of rational curves and total positivity
zbMATH Open document ID: 0853.65019
DOI: 10.1016/0377-0427(95)00240-5
author: J. M. Carnicer
author: J. M. Peña
author: M. García-Esnaola
published in: Journal of Computational and Applied Mathematics
publication date: 1996-09-18T00:00:00Z
review text: Freiformkurven werden im allgemeinen mit Hilfe eines Kontrollpolygons und eines Systems von Funktionen (Bindefunktionen) erzeugt. Dabei gehört zu einem ebenen konvexen Kontrollpolygon eine konvexe Bézier-Kurve; das zugehörige Funktionensystem ist also konvexitätserhaltend. In der vorliegenden Arbeit befassen sich die Autoren allgemein mit Kennzeichnungen von monotonieerhaltenden und von konvexitätserhaltenden Funktionensystemen, auch bei verallgemeinerter Konvexität (geometrischer \(k\)-Konvexität). In diesem Zusammenhang spielen die total positiven Systeme von Bindefunktionen wegen ihrer gestaltserhaltenden Eigenschaften eine wichtige Rolle. Speziell die durch positive Gewichte erzeugten rationalen Kurven besitzen die gestaltserhaltenden Eigenschaften der total positiven Funktionensysteme. Die bewiesenen Kennzeichnungen sind von folgendem Typ (Korollar 4.9): Sei \((u_0(t),\dots, u_n(t))\) ein System nichtnegativer Funktionen mit \(\sum^n_{i= 0} u_i> 0\). Dann gilt: Die Systeme \[ (\lambda w_0 u_0,\dots, \lambda w_n u_n),\quad \lambda^{- 1}:= \sum^n_{i= 0} w_i u_i \] erhalten genau dann für alle positiven \(w_0,\dots, w_n\) die geometrische \(k\)-Konvexität, wenn der Vektor \((u_0,\dots, u_n)\) ein total positives System ist und \(\text{span}\{u_0,\dots, u_n\}\) einen \(n\)-dimensionalen Tschebycheff Teilraum besitzt.
Mathematics Subject Classification ID: 65D17
Mathematics Subject Classification ID: 41A20
zbMATH DE Number: 910323
zbMATH Keywords: rational curves
zbMATH Keywords: convexity
zbMATH Keywords: total positivity
zbMATH Keywords: monotonicity
reviewed by: Oswald Giering
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: 0377-0427(95)00240-5
OpenAlex ID: W2024276732
cites work: Totally positive matrices
cites work: A Geometric Proof of Total Positivity for Spline Interpolation
cites work: Generalized convexity preserving transformations
cites work: Q4856403
cites work: A generalization of the variation diminishing property
cites work: Shape preserving representations and optimality of the Bernstein basis
cites work: Totally positive bases for shape preserving curve design and optimality of \(B\)-splines
cites work: Q4324638
cites work: Q4041056
cites work: Q3468070
cites work: Inflections on curves in two and three dimensions
cites work: Shape preserving properties of the generalised Ball basis
cites work: Q5624248
description: scientific article; zbMATH DE number 910323