Convexity of rational curves and total positivity
Freiformkurven werden im allgemeinen mit Hilfe eines Kontrollpolygons und eines Systems von Funktionen (Bindefunktionen) erzeugt. Dabei gehört zu einem ebenen konvexen Kontrollpolygon eine konvexe Bézier-Kurve; das zugehörige Funktionensystem ist also konvexitätserhaltend. In der vorliegenden Arbeit befassen sich die Autoren allgemein mit Kennzeichnungen von monotonieerhaltenden und von konvexitätserhaltenden Funktionensystemen, auch bei verallgemeinerter Konvexität (geometrischer \(k\)-Konvexität). In diesem Zusammenhang spielen die total positiven Systeme von Bindefunktionen wegen ihrer gestaltserhaltenden Eigenschaften eine wichtige Rolle. Speziell die durch positive Gewichte erzeugten rationalen Kurven besitzen die gestaltserhaltenden Eigenschaften der total positiven Funktionensysteme. Die bewiesenen Kennzeichnungen sind von folgendem Typ (Korollar 4.9): Sei \((u_0(t),\dots, u_n(t))\) ein System nichtnegativer Funktionen mit \(\sum^n_{i= 0} u_i> 0\). Dann gilt: Die Systeme \[ (\lambda w_0 u_0,\dots, \lambda w_n u_n),\quad \lambda^{- 1}:= \sum^n_{i= 0} w_i u_i \] erhalten genau dann für alle positiven \(w_0,\dots, w_n\) die geometrische \(k\)-Konvexität, wenn der Vektor \((u_0,\dots, u_n)\) ein total positives System ist und \(\text{span}\{u_0,\dots, u_n\}\) einen \(n\)-dimensionalen Tschebycheff Teilraum besitzt.
scientific article; zbMATH DE number 910323