Asymptotics of the first nodal line of a convex domain
On se donne un ouvert borné convexe \(\Omega \subset \mathbb{R}^2\), de grande excentricité, plus précisément, dont les projections sur les axes des \(x\) et des \(y\) ont pour longueurs respectives \(N\gg 1\) et 1; sa première ligne nodale \(\Lambda\) est l'ensemble des zéros d'une solution \(u\not\equiv 0\) du problème \[ (\Delta+\lambda_2) u=0 \quad \text{sur } \Omega,\;u=0 \quad \text{sur } \partial\Omega, \] dont \(\lambda_2\) est la deuxième valeur propre. On montre que \(\Lambda\) est voisine d'une parallèle à l'axe des \(y\): la projection de \(\Lambda\) sur l'axe des \(x\) a un diamètre \(\leq C_0/N\), où \(C_0\) est une constante absolue; dans la partie de \(\Lambda\) située à distance \(\geq\varepsilon\) de \(\partial\Omega\), les tangentes à \(\Lambda\) font avec l'axe des \(y\) des angles \(\leq C(\varepsilon)/N\). Avec la notation \[ \Omega=\bigl\{(x,y) \in\mathbb{R}^2 : a<x<b=a+N, \quad f_1(x)<y<f_2 (x)\bigr\} \] on a des majorations encore plus précises où, au lieu de \(N\), figurent \(\sup_{]a,b[} \max(|f_1'|, |f_2' |)\) et le plus grand nombre \(L\) tel que \(1-(f_2-f_1) \leq 1/L^2\) sur un intervalle de longueur \(L\).
scientific article; zbMATH DE number 922464